作者TimcApple (肥鵝)
看板Math
標題Re: [代數] 無窮大>0？
時間Thu Apr 30 12:34:13 2020
※ 引述《red0whale (red whale)》之銘言：
: 雖然這個問題看似有點蠢
: 不過是不是「無窮大>0」呢?
: 會這麼問是因為，在數學觀念裡，無窮大是一個概念，不是一個數
: 所以無窮大能不能跟數字比大小是疑惑的
: 然而，在我們的觀念裡，無窮大是一個比任何數還要大的「東西」
: 因此，「無窮大>0」也就正常人的觀念而言是再合理不過了
: 所以就這些觀點而言，無窮大是否會大於0呢?
數學上對於「數」的定義，比想像中的還要廣泛
不只有整數、小數之類的才叫數
例如 x、函數 f、矩陣 A，都可以拿來當成「數」
因此，根據需求，無窮大也可以當成數來用
一般人心中的「無窮大不是個數」
在數學這邊的講法是「無窮大不是個實數」
至於要不要接受無窮大的存在、無窮大當成數要怎麼用
那要看每個人的定義如何。
除了乾脆不承認無窮大的存在，那當然沒有 > 0 這個說法
還有一種定義，無窮大沒辦法大於 0：黎曼球
這是複數平面上，加上一個「∞」的點，使的整個平面的拓樸性質像一顆球
由於複數平面上基本不比大小，∞就不會 > 0 了
所以才會說，要看如何定義無窮大
最後，來偷渡一個東西：
https://imgur.com/a/hqhYrHP
這是我自己做的一篇 Quiz，專門考驗一般人對於無限的想法
不過我覺得弄成圖片很沒feel，不知道有沒有更好的做法qw q
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※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Math/M.1588221255.A.D3F.html
1F：推 annboy : 我可能有點咬文嚼字 不過我覺得Q1(A)的"有限"很怪04/30 13:21
2F：→ annboy : T大想表達的應該是:對於任何自然數n，04/30 13:23
3F：→ annboy : {1, ... , n}是有限集合04/30 13:25
如果改成「有限大的」呢？
4F：推 rebe212296 : T大，要視覺化請跑R軟體做動圖，謝謝04/30 13:38
嗯嗯我會參考的ow o
5F：→ wohtp : 實數線也可以加無限大變成一個圈。Compactification04/30 13:45
6F：→ wohtp : 不只複數可以做。04/30 13:45
原本直覺上為了避免order沒用實數，不過好像也可以
7F：推 rebe212296 : 推A大，這我想應該回到實數完備性，由數學歸納法，04/30 13:47
8F：→ rebe212296 : 由於在1到n之前的數都在實數線上，所以再加1也會在04/30 13:47
9F：→ rebe212296 : 實數上，由於1+n仍是實數，這是因為實數是體，對加04/30 13:47
10F：→ rebe212296 : 法有封閉性。所以再加1還是在體中。04/30 13:47
11F：推 PPguest : Quiz滿有趣的04/30 14:01
12F：→ PPguest : @a大 我覺得那邊的有限主要是要和無限大做區隔04/30 14:07
13F：→ PPguest : 強調是自然數(實數也行),而不是正負無限大04/30 14:09
14F：推 HeterCompute: 第7題是Ross-Littlewood Paradox吧，如果不是在集合04/30 14:47
15F：→ HeterCompute: 論上探討，直接說他錯不合理，不然為什麼是paradox04/30 14:48
16F：→ HeterCompute: 第9題如果在微積分考肯定不是你說的這個答案...04/30 14:55
17F：→ ERT312 : Q9 "極限路徑的長度" ≠ "路徑長度的極限"04/30 16:48
18F：推 HeterCompute: 確實Q9我看錯題意了，不過Q7我還是堅持是paradox04/30 17:13
19F：→ HeterCompute: 那Q9解釋就不妥了吧，問題極限路徑就是BC，說長度04/30 17:18
20F：→ HeterCompute: 無限的情況不屬於此類就不對了04/30 17:18
21F：→ TimcApple : Q7 因為有給定球的編號 所以是有解的04/30 17:42
22F：→ TimcApple : 原 paradox 並沒有給球上編號 那種情況真的沒辦法04/30 17:42
23F：→ HeterCompute: 那我就借用E大的思路問你：最後袋子有幾顆球到底是04/30 18:01
24F：→ HeterCompute: 無限步之後去數幾顆球，還是先數球數取無限步呢？04/30 18:02
25F：→ HeterCompute: 前者是你文中的答案，後者是常見直覺，但是這題目04/30 18:03
26F：→ HeterCompute: 的意思完全等價於前者嗎？04/30 18:03
27F：→ HeterCompute: 我覺得直接問最後有幾顆球就不是一個很良好的問法04/30 18:04
28F：→ TimcApple : 我不否認可能會有文字敘述上的問題04/30 18:21
29F：→ TimcApple : 實際上 這裡已經是v2版了 還是被挑出了敘述問題04/30 18:22
30F：→ TimcApple : 不過可以肯定的是 面對有關無限的問題04/30 18:23
31F：→ TimcApple : 使用數學語言會遠比使用直覺好的多04/30 18:24
32F：→ TimcApple : 你的直覺會背叛你 但數學不會XD04/30 18:24
33F：→ TimcApple : 以前在算排組的時候 可以不討論詳細情況04/30 18:25
34F：→ TimcApple : 直接拿數字連乘 也會得到一樣的結果04/30 18:26
35F：→ TimcApple : 但在無限這邊 「完成無限步驟」或「取極限」04/30 18:27
36F：→ TimcApple : 和許多數學運算是不可交換的 此時順序就很重要04/30 18:27
37F：推 wohtp : 做了前兩題就對答案都有意見，直接跳出來。05/01 00:16
38F：→ wohtp : Q1: 無限大和實數之間的加法應該沒有公認的定義？05/01 00:19
你對。我原本只想做給一般人，但確實應該也要嚴謹一些
例如 0 在 Riemann Sphere 上的倒數還真的是無限大
我會考慮改掉一部分的選項，避免不同定義的問題
39F：→ wohtp : Q2：既然沒有「小數第無限位」，那對它的任何敘述都05/01 00:21
40F：→ wohtp : 為真吧？05/01 00:21
乾我漏了qw q 題目要加存在性敘述 不知道怎麼改比較自然
41F：推 chemmachine : 我做Q1，Q2，Q3，Q4，Q7，Q9都跟答案不一樣==05/01 08:18
42F：推 Vulpix : A8有漏洞。0.3999... 0.x9xx... 0.xx9x... 0.xxx9..05/02 17:40
43F：→ Vulpix : 按規則做出的是 0.4000....=0.4，和第一個數相同。05/02 17:40
難怪其他證明都是互換中間數字，輕忽了qw q
※ 編輯: TimcApple (49.215.148.11 臺灣), 05/02/2020 21:42:49
44F：→ TimcApple : 噢噢 手機終於編輯成功了qw q05/02 21:43
45F：推 algebraic : 能發現Q2敘述的漏洞真不簡單05/03 03:52
46F：→ algebraic : 照語言的直覺 不容易想到這個漏洞 05/03 03:53
47F：推 wohtp : 我繼續往下多翻了幾題，深深覺得原po您最好先決定你 05/03 13:03
48F：→ wohtp : 的無限大要用哪個定義，選好就別改05/03 13:03
49F：推 wohtp : 很多地方看得出原po心目中指涉的似乎是R^n聯集某種m05/03 13:13
50F：→ wohtp : anifold of infinity，才會問出例如「無限大加一」05/03 13:13
51F：→ wohtp : 這樣的問題。05/03 13:13
52F：推 wohtp : 但是補infinity manifold的方式並不唯一，補上以後05/03 13:23
53F：→ wohtp : 沒有理由要定義加減乘除，就算定義也沒有唯一定義。05/03 13:23
沒辦法，因為不同情況考慮的 not finite，從根本上就不一樣
我使用的無限大的定義大致上有以下幾種
(1) Cardinality of N: Q5, Q7, Q9
(2) Ordinal omega: Q2
(3) Cardinality of some set which is not finite: Q1, Q3, Q8, Q10
(4) A number or concept larger then any real number: Q1, Q6
(5) Taking Limit: Q4, Q7, Q9
事實上我著重的點是 not finite, larger then finite 的性質
我並不考慮 Compactification 或 Projective Real 等作法
這些作法是把 infty 當成一個 point 看待，order 基本上不見了
我可以在最開始的時候強調這點
另外，也可以在所有題目的後面
加註數學家對於無限的界定與分類，說明哪個題目用了哪種無限
※ 編輯: TimcApple (49.215.148.11 臺灣), 05/03/2020 14:42:36
54F：推 Vulpix : 我倒是覺得「∞+實數」才是∞相關加法定義最沒有疑 05/03 17:42
55F：→ Vulpix : 義的那一塊。因為無限大加實數不可能是實數，而且也 05/03 17:44
56F：→ Vulpix : 不可能是「其他」無限大。欸……不對，hyperreal # 05/03 17:45
57F：→ Vulpix : 的無限大+1就不是那個無限大本人了XD 05/03 17:45
58F：→ Vulpix : 不過作為cardinality或extended real number或CP^1 05/03 17:48
59F：→ Vulpix : 的這種情況，無限大+1都是無限大本人。 05/03 17:49