作者TimcApple (肥鹅)
看板Math
标题Re: [代数] 无穷大>0？
时间Thu Apr 30 12:34:13 2020
※ 引述《red0whale (red whale)》之铭言：
: 虽然这个问题看似有点蠢
: 不过是不是「无穷大>0」呢?
: 会这麽问是因为，在数学观念里，无穷大是一个概念，不是一个数
: 所以无穷大能不能跟数字比大小是疑惑的
: 然而，在我们的观念里，无穷大是一个比任何数还要大的「东西」
: 因此，「无穷大>0」也就正常人的观念而言是再合理不过了
: 所以就这些观点而言，无穷大是否会大於0呢?
数学上对於「数」的定义，比想像中的还要广泛
不只有整数、小数之类的才叫数
例如 x、函数 f、矩阵 A，都可以拿来当成「数」
因此，根据需求，无穷大也可以当成数来用
一般人心中的「无穷大不是个数」
在数学这边的讲法是「无穷大不是个实数」
至於要不要接受无穷大的存在、无穷大当成数要怎麽用
那要看每个人的定义如何。
除了乾脆不承认无穷大的存在，那当然没有 > 0 这个说法
还有一种定义，无穷大没办法大於 0：黎曼球
这是复数平面上，加上一个「∞」的点，使的整个平面的拓朴性质像一颗球
由於复数平面上基本不比大小，∞就不会 > 0 了
所以才会说，要看如何定义无穷大
最後，来偷渡一个东西：
https://imgur.com/a/hqhYrHP
这是我自己做的一篇 Quiz，专门考验一般人对於无限的想法
不过我觉得弄成图片很没feel，不知道有没有更好的做法qw q
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1F：推 annboy : 我可能有点咬文嚼字 不过我觉得Q1(A)的"有限"很怪04/30 13:21
2F：→ annboy : T大想表达的应该是:对於任何自然数n，04/30 13:23
3F：→ annboy : {1, ... , n}是有限集合04/30 13:25
如果改成「有限大的」呢？
4F：推 rebe212296 : T大，要视觉化请跑R软体做动图，谢谢04/30 13:38
嗯嗯我会参考的ow o
5F：→ wohtp : 实数线也可以加无限大变成一个圈。Compactification04/30 13:45
6F：→ wohtp : 不只复数可以做。04/30 13:45
原本直觉上为了避免order没用实数，不过好像也可以
7F：推 rebe212296 : 推A大，这我想应该回到实数完备性，由数学归纳法，04/30 13:47
8F：→ rebe212296 : 由於在1到n之前的数都在实数线上，所以再加1也会在04/30 13:47
9F：→ rebe212296 : 实数上，由於1+n仍是实数，这是因为实数是体，对加04/30 13:47
10F：→ rebe212296 : 法有封闭性。所以再加1还是在体中。04/30 13:47
11F：推 PPguest : Quiz满有趣的04/30 14:01
12F：→ PPguest : @a大 我觉得那边的有限主要是要和无限大做区隔04/30 14:07
13F：→ PPguest : 强调是自然数(实数也行),而不是正负无限大04/30 14:09
14F：推 HeterCompute: 第7题是Ross-Littlewood Paradox吧，如果不是在集合04/30 14:47
15F：→ HeterCompute: 论上探讨，直接说他错不合理，不然为什麽是paradox04/30 14:48
16F：→ HeterCompute: 第9题如果在微积分考肯定不是你说的这个答案...04/30 14:55
17F：→ ERT312 : Q9 "极限路径的长度" ≠ "路径长度的极限"04/30 16:48
18F：推 HeterCompute: 确实Q9我看错题意了，不过Q7我还是坚持是paradox04/30 17:13
19F：→ HeterCompute: 那Q9解释就不妥了吧，问题极限路径就是BC，说长度04/30 17:18
20F：→ HeterCompute: 无限的情况不属於此类就不对了04/30 17:18
21F：→ TimcApple : Q7 因为有给定球的编号 所以是有解的04/30 17:42
22F：→ TimcApple : 原 paradox 并没有给球上编号 那种情况真的没办法04/30 17:42
23F：→ HeterCompute: 那我就借用E大的思路问你：最後袋子有几颗球到底是04/30 18:01
24F：→ HeterCompute: 无限步之後去数几颗球，还是先数球数取无限步呢？04/30 18:02
25F：→ HeterCompute: 前者是你文中的答案，後者是常见直觉，但是这题目04/30 18:03
26F：→ HeterCompute: 的意思完全等价於前者吗？04/30 18:03
27F：→ HeterCompute: 我觉得直接问最後有几颗球就不是一个很良好的问法04/30 18:04
28F：→ TimcApple : 我不否认可能会有文字叙述上的问题04/30 18:21
29F：→ TimcApple : 实际上 这里已经是v2版了 还是被挑出了叙述问题04/30 18:22
30F：→ TimcApple : 不过可以肯定的是 面对有关无限的问题04/30 18:23
31F：→ TimcApple : 使用数学语言会远比使用直觉好的多04/30 18:24
32F：→ TimcApple : 你的直觉会背叛你 但数学不会XD04/30 18:24
33F：→ TimcApple : 以前在算排组的时候 可以不讨论详细情况04/30 18:25
34F：→ TimcApple : 直接拿数字连乘 也会得到一样的结果04/30 18:26
35F：→ TimcApple : 但在无限这边 「完成无限步骤」或「取极限」04/30 18:27
36F：→ TimcApple : 和许多数学运算是不可交换的 此时顺序就很重要04/30 18:27
37F：推 wohtp : 做了前两题就对答案都有意见，直接跳出来。05/01 00:16
38F：→ wohtp : Q1: 无限大和实数之间的加法应该没有公认的定义？05/01 00:19
你对。我原本只想做给一般人，但确实应该也要严谨一些
例如 0 在 Riemann Sphere 上的倒数还真的是无限大
我会考虑改掉一部分的选项，避免不同定义的问题
39F：→ wohtp : Q2：既然没有「小数第无限位」，那对它的任何叙述都05/01 00:21
40F：→ wohtp : 为真吧？05/01 00:21
乾我漏了qw q 题目要加存在性叙述 不知道怎麽改比较自然
41F：推 chemmachine : 我做Q1，Q2，Q3，Q4，Q7，Q9都跟答案不一样==05/01 08:18
42F：推 Vulpix : A8有漏洞。0.3999... 0.x9xx... 0.xx9x... 0.xxx9..05/02 17:40
43F：→ Vulpix : 按规则做出的是 0.4000....=0.4，和第一个数相同。05/02 17:40
难怪其他证明都是互换中间数字，轻忽了qw q
※ 编辑: TimcApple (49.215.148.11 台湾), 05/02/2020 21:42:49
44F：→ TimcApple : 噢噢 手机终於编辑成功了qw q05/02 21:43
45F：推 algebraic : 能发现Q2叙述的漏洞真不简单05/03 03:52
46F：→ algebraic : 照语言的直觉 不容易想到这个漏洞 05/03 03:53
47F：推 wohtp : 我继续往下多翻了几题，深深觉得原po您最好先决定你 05/03 13:03
48F：→ wohtp : 的无限大要用哪个定义，选好就别改05/03 13:03
49F：推 wohtp : 很多地方看得出原po心目中指涉的似乎是R^n联集某种m05/03 13:13
50F：→ wohtp : anifold of infinity，才会问出例如「无限大加一」05/03 13:13
51F：→ wohtp : 这样的问题。05/03 13:13
52F：推 wohtp : 但是补infinity manifold的方式并不唯一，补上以後05/03 13:23
53F：→ wohtp : 没有理由要定义加减乘除，就算定义也没有唯一定义。05/03 13:23
没办法，因为不同情况考虑的 not finite，从根本上就不一样
我使用的无限大的定义大致上有以下几种
(1) Cardinality of N: Q5, Q7, Q9
(2) Ordinal omega: Q2
(3) Cardinality of some set which is not finite: Q1, Q3, Q8, Q10
(4) A number or concept larger then any real number: Q1, Q6
(5) Taking Limit: Q4, Q7, Q9
事实上我着重的点是 not finite, larger then finite 的性质
我并不考虑 Compactification 或 Projective Real 等作法
这些作法是把 infty 当成一个 point 看待，order 基本上不见了
我可以在最开始的时候强调这点
另外，也可以在所有题目的後面
加注数学家对於无限的界定与分类，说明哪个题目用了哪种无限
※ 编辑: TimcApple (49.215.148.11 台湾), 05/03/2020 14:42:36
54F：推 Vulpix : 我倒是觉得「∞+实数」才是∞相关加法定义最没有疑 05/03 17:42
55F：→ Vulpix : 义的那一块。因为无限大加实数不可能是实数，而且也 05/03 17:44
56F：→ Vulpix : 不可能是「其他」无限大。欸……不对，hyperreal # 05/03 17:45
57F：→ Vulpix : 的无限大+1就不是那个无限大本人了XD 05/03 17:45
58F：→ Vulpix : 不过作为cardinality或extended real number或CP^1 05/03 17:48
59F：→ Vulpix : 的这种情况，无限大+1都是无限大本人。 05/03 17:49