作者laLavande (5566得第一)
看板Math
標題[線代] 可逆矩陣B, 證明(B^T)B是SPD
時間Wed Apr 29 07:28:48 2020
https://i.imgur.com/7evJfE0.jpg
我已經證出☆大於等於零, 因為平方和一定大於等於零
可是不知道怎麼證☆大於零
我知道與det(B)有關, 可是det(B)很難寫出來
或者我應該從SPD矩陣的所有eigenvalue大於零下手?
可是(B^T)B的所有eigenvalue也很難寫出來
謝謝大家!
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1F：推 yclinpa : SPD的S是semi,不是symmetric;只要證>=0就好 04/29 07:31
2F：推 yclinpa : 若加上B是nonsingular,則考慮內積(x,Ax)=(Bx,Bx) 04/29 07:34
3F：→ yclinpa : =0 iff Bx=0 iff x=0 04/29 07:34
4F：→ laLavande : 不好意思沒寫清楚 題目是Symmetric Positive Defini 04/29 07:38
5F：→ laLavande : te沒錯 04/29 07:38
6F：→ laLavande : 謝謝! 我來試試看內積 04/29 07:38
7F：→ yhliu : x'(B'B)x = (Bx)'(Bx) = 0 iff. Bx = 0, 04/29 07:54
8F：→ yhliu : B nonsingular, so Bx = 0 iff. x = 0. 04/29 07:55
10F：推 chemmachine : 說錯是正定非半正定不semi 04/29 08:04
11F：推 cuylerLin : spd是symmetric positive-definite沒錯，對稱顯然 04/29 08:14
12F：→ cuylerLin : 正定的部分，原po的寫法接上yhliu大的寫法就做完了 04/29 08:16
13F：→ cuylerLin : 補充一個延伸考點，如果把B條件放鬆：B是任意的m*n 04/29 08:17
14F：→ cuylerLin : 矩陣，試證明矩陣BB'或B'B其中一個是spd。 04/29 08:18
16F：→ laLavande : 了解了, 感謝各位大大! 你們真熱心 04/29 08:23