作者calculusking (微積分王)
看板Math
標題Re: [中學] 不盡相異物排列問題
時間Mon Apr 6 14:22:18 2020
※ 引述《nest0380 (阿比)》之銘言：
: 各位先進 小的不才 想請問基礎的排列問題
: 若要將n個不完全相異物進行排列
: 為何重複的種類的總和要用除的而不是減的？
: 例如有3顆白球、2顆紅球及2顆黃球
: 我們將其排列的總和為7!/3!*2!*2!
: 但為什麼不是7!-3!*2!*2!
: 我知道用減的一定會少 答案一定不對
: 但這也僅止於強記的階段而已
: 我想知道原理是什麼
: 用除的跟用減的到底差在哪裡
: 請賜教
: 謝謝
如果把問題簡化，兩黑一白一紅任意排列，你覺得是 4!-2! 還是 4!/2!
兩個相同的黑色交換後還是一模一樣，所以應該要除以二!
不知道這樣解釋有比較容易理解嗎?
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1F：推 nest0380 : 所以直觀來說就是重複了所以除掉嗎？ 04/06 15:41
2F：→ nest0380 : 我知道重複要扣掉 但有點不太明白除法的意義是什麼 04/06 16:00
3F：→ nest0380 : 因為一樣所以要除掉 這邊我過不太去 04/06 16:04
4F：→ nest0380 : 除以2!是因為它們其實是1所以要均分掉嗎？ 04/06 16:17
對的，因為重複算了兩次! 舉例來說 黑1黑2 白紅 跟 黑2黑1 白紅 都一樣，
(看起來都是黑黑白紅)
所以所有東西都被重複算兩次了，所以應該要除以二。
回到你原本問的題目，可以思考成重複了幾次?
知道後就是把重複的次數(多算了幾倍)除掉。
5F：→ yhliu : 扣掉一般是用來扣掉 "不允許" 的. 重複的如果你能知 04/06 18:21
6F：→ yhliu : 道因重複而多算了幾種排列法, 當然可以直接扣除. 04/06 18:22
7F：→ yhliu : 但在這問題, 因重複而多算的排列數並不是 3!2!2!, 04/06 18:24
8F：→ yhliu : 而是不盡相同7物(3+2+2)的每一種排列被重複了3!2!2! 04/06 18:25
9F：→ yhliu : 次, 才構成7相異物的排列數7!. 所以 7! 除以重複數 04/06 18:27
10F：→ yhliu : 3!2!2! 才是 3+2+2 這7個不盡相同物的排列數. 04/06 18:28
11F：→ yhliu : 舉個不是排組的計數的例子: 如果一疊鈔票每張被點計 04/06 18:31
12F：→ yhliu : 3次而後總點計數是96, 表示這疊鈔票共 96/3=32張. 04/06 18:33
※ 編輯: calculusking (1.161.227.193 臺灣), 04/06/2020 19:59:50
13F：推 nest0380 : 哦~~~~~ 重複計算的排列數是7! 而3! 2! 2!都是指重 04/06 19:55
14F：→ nest0380 : 複計算的次數 到這邊我理解了 若是原po出的題目二 04/06 19:55
15F：→ nest0380 : 黑一白一紅我知道重複的次數是2! 所以是4!/2! 但重 04/06 19:55
16F：→ nest0380 : 複的球種若不是只有一種 而是像我一開始提到的3白2 04/06 19:55
17F：→ nest0380 : 紅2黃 它們重複的總次數為什麼是3!*2!*2! 04/06 19:55
18F：→ calculusking: 因為3白2紅2黃任意交換要當成一樣，重複次數就是 04/06 20:01
19F：→ calculusking: 3! 2! 2! 04/06 20:01
20F：推 nest0380 : 我現在的理解是 只有2紅2黃的話 先當成都不一樣的球 04/06 21:47
21F：→ nest0380 : 紅1配黃1 紅1配黃2 紅2配黃1 紅2配黃2 有四種排列 04/06 21:47
22F：→ nest0380 : 方法 所以才說是2!*2! 但因為實際上紅球黃球都各自 04/06 21:47
23F：→ nest0380 : 不可分 這2!*2!種其實只有1種 也就是重複了2!*2!次 04/06 21:47
24F：→ nest0380 : 所以要除掉 以此類推 對嗎？ 04/06 21:47
25F：→ yhliu : 對! 紅球兩種排列, 實際上它們不可區分, 兩種排列是 04/07 00:59
26F：→ yhliu : 同一種. 黃球也是這樣. 所以總共重複計算了 2!2!=4 04/07 01:01
27F：→ yhliu : 次. 如果紅球2黃球3, 則紅球2!=2種排列, 黃球3!=6種 04/07 01:03
28F：→ yhliu : 排列, 在同色球不可區分的假設下, 各自不同的排列 04/07 01:05
29F：→ yhliu : 都應艋成一種, 也就是一種不同顏色球的排列被重複算 04/07 01:08
30F：→ yhliu : 了 2!3!=12 次, 所以就要除以 2!3! 調整回來. 04/07 01:10
31F：→ yhliu : 你說的 "紅1配黃1" 的說法不是很正碓, 因為 04/07 01:13
32F：→ yhliu : 排列可能是 "RRYY", 在球都能區分的惰況它可以變成 04/07 01:16
33F：→ yhliu : 4種: RrYy, rRYy, RryY, rRyY. 在同色球不可分的情 04/07 01:18
34F：→ yhliu : 況, 就是 RRYY 這一排列法被重複算了4次. 其他排列 04/07 01:19
35F：→ yhliu : 法也都類似, 如 YYRR 和 YyRr,yYRr,YyrR,yYrR. 04/07 01:22
36F：推 nest0380 : 一個2!是指紅球任意交換 一個2!是指白球任意交換 04/07 09:06
37F：→ nest0380 : 但他們其實都不能任意交換 2!*2!是同時遇到任意交 04/07 09:06
38F：→ nest0380 : 換的總次數 我這樣理解對嗎？ 04/07 09:06