作者calculusking (微积分王)
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标题Re: [中学] 不尽相异物排列问题
时间Mon Apr 6 14:22:18 2020
※ 引述《nest0380 (阿比)》之铭言：
: 各位先进 小的不才 想请问基础的排列问题
: 若要将n个不完全相异物进行排列
: 为何重复的种类的总和要用除的而不是减的？
: 例如有3颗白球、2颗红球及2颗黄球
: 我们将其排列的总和为7!/3!*2!*2!
: 但为什麽不是7!-3!*2!*2!
: 我知道用减的一定会少 答案一定不对
: 但这也仅止於强记的阶段而已
: 我想知道原理是什麽
: 用除的跟用减的到底差在哪里
: 请赐教
: 谢谢
如果把问题简化，两黑一白一红任意排列，你觉得是 4!-2! 还是 4!/2!
两个相同的黑色交换後还是一模一样，所以应该要除以二!
不知道这样解释有比较容易理解吗?
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1F：推 nest0380 : 所以直观来说就是重复了所以除掉吗？ 04/06 15:41
2F：→ nest0380 : 我知道重复要扣掉 但有点不太明白除法的意义是什麽 04/06 16:00
3F：→ nest0380 : 因为一样所以要除掉 这边我过不太去 04/06 16:04
4F：→ nest0380 : 除以2!是因为它们其实是1所以要均分掉吗？ 04/06 16:17
对的，因为重复算了两次! 举例来说 黑1黑2 白红 跟 黑2黑1 白红 都一样，
(看起来都是黑黑白红)
所以所有东西都被重复算两次了，所以应该要除以二。
回到你原本问的题目，可以思考成重复了几次?
知道後就是把重复的次数(多算了几倍)除掉。
5F：→ yhliu : 扣掉一般是用来扣掉 "不允许" 的. 重复的如果你能知 04/06 18:21
6F：→ yhliu : 道因重复而多算了几种排列法, 当然可以直接扣除. 04/06 18:22
7F：→ yhliu : 但在这问题, 因重复而多算的排列数并不是 3!2!2!, 04/06 18:24
8F：→ yhliu : 而是不尽相同7物(3+2+2)的每一种排列被重复了3!2!2! 04/06 18:25
9F：→ yhliu : 次, 才构成7相异物的排列数7!. 所以 7! 除以重复数 04/06 18:27
10F：→ yhliu : 3!2!2! 才是 3+2+2 这7个不尽相同物的排列数. 04/06 18:28
11F：→ yhliu : 举个不是排组的计数的例子: 如果一叠钞票每张被点计 04/06 18:31
12F：→ yhliu : 3次而後总点计数是96, 表示这叠钞票共 96/3=32张. 04/06 18:33
※ 编辑: calculusking (1.161.227.193 台湾), 04/06/2020 19:59:50
13F：推 nest0380 : 哦~~~~~ 重复计算的排列数是7! 而3! 2! 2!都是指重 04/06 19:55
14F：→ nest0380 : 复计算的次数 到这边我理解了 若是原po出的题目二 04/06 19:55
15F：→ nest0380 : 黑一白一红我知道重复的次数是2! 所以是4!/2! 但重 04/06 19:55
16F：→ nest0380 : 复的球种若不是只有一种 而是像我一开始提到的3白2 04/06 19:55
17F：→ nest0380 : 红2黄 它们重复的总次数为什麽是3!*2!*2! 04/06 19:55
18F：→ calculusking: 因为3白2红2黄任意交换要当成一样，重复次数就是 04/06 20:01
19F：→ calculusking: 3! 2! 2! 04/06 20:01
20F：推 nest0380 : 我现在的理解是 只有2红2黄的话 先当成都不一样的球 04/06 21:47
21F：→ nest0380 : 红1配黄1 红1配黄2 红2配黄1 红2配黄2 有四种排列 04/06 21:47
22F：→ nest0380 : 方法 所以才说是2!*2! 但因为实际上红球黄球都各自 04/06 21:47
23F：→ nest0380 : 不可分 这2!*2!种其实只有1种 也就是重复了2!*2!次 04/06 21:47
24F：→ nest0380 : 所以要除掉 以此类推 对吗？ 04/06 21:47
25F：→ yhliu : 对! 红球两种排列, 实际上它们不可区分, 两种排列是 04/07 00:59
26F：→ yhliu : 同一种. 黄球也是这样. 所以总共重复计算了 2!2!=4 04/07 01:01
27F：→ yhliu : 次. 如果红球2黄球3, 则红球2!=2种排列, 黄球3!=6种 04/07 01:03
28F：→ yhliu : 排列, 在同色球不可区分的假设下, 各自不同的排列 04/07 01:05
29F：→ yhliu : 都应艋成一种, 也就是一种不同颜色球的排列被重复算 04/07 01:08
30F：→ yhliu : 了 2!3!=12 次, 所以就要除以 2!3! 调整回来. 04/07 01:10
31F：→ yhliu : 你说的 "红1配黄1" 的说法不是很正碓, 因为 04/07 01:13
32F：→ yhliu : 排列可能是 "RRYY", 在球都能区分的惰况它可以变成 04/07 01:16
33F：→ yhliu : 4种: RrYy, rRYy, RryY, rRyY. 在同色球不可分的情 04/07 01:18
34F：→ yhliu : 况, 就是 RRYY 这一排列法被重复算了4次. 其他排列 04/07 01:19
35F：→ yhliu : 法也都类似, 如 YYRR 和 YyRr,yYRr,YyrR,yYrR. 04/07 01:22
36F：推 nest0380 : 一个2!是指红球任意交换 一个2!是指白球任意交换 04/07 09:06
37F：→ nest0380 : 但他们其实都不能任意交换 2!*2!是同时遇到任意交 04/07 09:06
38F：→ nest0380 : 换的总次数 我这样理解对吗？ 04/07 09:06