作者nest0380 (阿比)
看板Math
標題[中學] 不盡相異物排列問題
時間Mon Apr 6 03:57:23 2020
各位先進 小的不才 想請問基礎的排列問題
若要將n個不完全相異物進行排列
為何重複的種類的總和要用除的而不是減的？
例如有3顆白球、2顆紅球及2顆黃球
我們將其排列的總和為7!/3!*2!*2!
但為什麼不是7!-3!*2!*2!
我知道用減的一定會少 答案一定不對
但這也僅止於強記的階段而已
我想知道原理是什麼
用除的跟用減的到底差在哪裡
請賜教
謝謝
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1F：推 LPH66 : 因為這不是單一個排列多算, 而是所有排列都有04/06 04:56
2F：→ LPH66 : 那因為所有排列多算的狀況是一樣的, 我們可以把所有04/06 04:56
3F：→ LPH66 : 對應同一種排列的狀況整理成一組04/06 04:56
4F：→ LPH66 : 每一組的種類數是一樣多的, 以此例來說每組都有04/06 04:57
5F：→ LPH66 : 3!*2!*2! 種排列, 因此總組數即是 7! 除以這個數量04/06 04:57
6F：推 LPH66 : 或者有另一種看法是, 這裡的除法是乘法原理倒過來用04/06 05:21
7F：→ LPH66 : 先進行不盡相異物排列, 再對同一顏色進行排列04/06 05:22
8F：→ LPH66 : 即能得到全相異物的排列數04/06 05:22
9F：→ LPH66 : 也就是 不盡相異物 * 同種排列 * 同種排列 = 全排列04/06 05:23
10F：→ LPH66 : 於是 不盡相異物 = 全排列 / (同種排列 * 同種排列)04/06 05:23
11F：→ LPH66 : 前一種看法的"分組每組數量相同"體現在正向乘法原理04/06 05:24
12F：→ LPH66 : 因此除法的意義也就只是去除因此造成的所有排列多算04/06 05:25
用乘法原理去解釋好像比較容易懂
那3!*2!*2!的意思是把三種不同顏色的球都當作不一樣各自排列後再以「組」為單位再進
行第二次排列嗎？
然後7!則是先把球都當成不一樣的，直接進行相異物排列
所以我可以想成是7!種不同的排列方式分進3!*2!*2!組裡去看每一組的排列數嗎？因為這
幾組其實都是同一組，只是一開始被假設為不同球種而已
※ 編輯: nest0380 (114.36.180.159 臺灣), 04/06/2020 08:42:13