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標題[線代] vector space 和 span(名詞)的差別
時間Tue Mar 31 11:19:32 2020
各位大大好 如同標題 我想請問vector space 和 span有什麼差別？
我有先爬過文 但是之前的幾篇我還是沒有看得很懂 所以想再請教一下
https://i.imgur.com/PV8UhhC.jpg
上面這個是我們的課文
裡面寫到"考慮一個向量的集合，如果裡面有兩個向量，他們的線性組合仍然在該集合裡面，那該集合就是一個向量空間"
後面則寫到"一個由給定向量以及他們的線性組合形成的集合，叫做span"
在我的理解，vector space 和 span 同樣是由幾個向量以及他們的線性組合構成的集合，看不出他們有什麼差別。
我本來以為span是生成vector space的東西，但那好像是基底在做的事情
我有去詢問我們教授，他的解釋是 span 中的向量 component 都是一樣的，但 vector space 不一定
但課本的第一句話就有說 "has the same component"，而且線性組合出來的向量component應該也要是一樣的吧？！
所以我覺得這個說法還滿奇怪的
因此想請問 span 和 vector space 之間的關係是什麼？謝謝～
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.113.121.118 (臺灣)
※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Math/M.1585624774.A.5A3.html
1F：→ Ricestone : span是 這組向量的span 03/31 11:35
2F：→ Ricestone : 它是跟這組向量有特定關係的形容 03/31 11:36
3F：→ Ricestone : 所以我們口語上可以說一組向量能span出一個向量空間 03/31 11:37
4F：→ Ricestone : 就把它當動詞用 03/31 11:37
5F：→ Ricestone : 所以你看書上寫的是 span "of these vectors" 03/31 11:38
所以 span 和 vector space 講的是同樣的東西 但是用不同的角度形容?!
※ 編輯: benasking712 (140.113.121.118 臺灣), 03/31/2020 12:15:51
6F：→ Ricestone : 不一樣啊，vector space沒有指定哪一組 03/31 12:16
7F：→ Ricestone : span是vector (sub)space，並跟固定一組向量有關係 03/31 12:17
8F：→ Ricestone : 我們會說A是一個向量空間，但不會直接說A是一個span 03/31 12:18
10F：→ Ricestone : 一定會說成是A是b這組向量的span 03/31 12:18
11F：→ chemmachine : 令v是一個向量空間。從v中取有限或無限個元素當作 03/31 12:20
12F：→ chemmachine : s。則span s是包含s這個集合的最小子空間(v的子空間03/31 12:21
13F：→ chemmachine : theorem1.5，照片要用小畫家開，不然解析度不夠。03/31 12:23
14F：→ chemmachine : 一個實例是考慮三維空間，在xy平面任取兩不平行向量03/31 12:25
15F：→ chemmachine : 則span s=xy平面03/31 12:25
所以可以說 span 就是 vector subspace 囉？！
一組向量的span = 一組向量的vector subspace 可以這樣說嗎？
所以一定要先有vector space才能有span嗎？
不好意思 還是沒有完全理解
※ 編輯: benasking712 (140.113.121.120 臺灣), 03/31/2020 12:37:38
※ 編輯: benasking712 (140.113.121.120 臺灣), 03/31/2020 12:38:32
16F：推 chemmachine : 對。先取好vector space 再取span 。這組span會是v03/31 12:38
17F：→ chemmachine : 的子空間(subspace)03/31 12:39
18F：→ chemmachine : 如果你沒有vector space的話，取linear combination 03/31 12:40
19F：→ chemmachine : 叫做所有s的線性組合的集合。不過也許有人會誤用03/31 12:41
20F：→ chemmachine : 就是了03/31 12:41
21F：→ chemmachine : 一組向量的span = 一組向量的vector subspace 改為03/31 12:42
22F：→ chemmachine : 一組向量形成的subspace03/31 12:42
23F：推 chemmachine : 你的s裡的元素很接近subspace的basis，差別在係數倍 03/31 12:44
24F：→ chemmachine : 和可以多一點重複的base03/31 12:45
25F：→ chemmachine : 跟做一些加減係數倍03/31 12:45
了解了解 不好意思想再問一下 既然span跟subspace一模一樣為什麼還要用兩個名詞啊？有什麼特別的意義嗎？
※ 編輯: benasking712 (140.113.121.120 臺灣), 03/31/2020 12:52:21
26F：推 sin55688 : 為什麼會一模一樣呢?你把課本中span全換成subspace 03/31 12:57
27F：→ sin55688 : 不覺得讀起來很奇怪嗎... 03/31 12:57
28F：→ sin55688 : 然後你向量空間的定義也不太正確 03/31 12:59
29F：推 chemmachine : subspace可以不知道他是那些元素展開，且強調它是子 03/31 13:52
30F：→ chemmachine : 空間的性質。span會強調它是線性組合的性質，且它不 03/31 13:53
31F：→ chemmachine : 一定能展成你所要的子空間。我們有一些慣用符號是約 03/31 13:54
32F：→ chemmachine : 定俗成的，你只需要知道它們在某些意義上有關，但在 03/31 13:55
33F：→ chemmachine : 不同定理上有時用span有時用subspace 03/31 13:56
34F：→ chemmachine : 而且v可以有很多個subspace，span s只是其中一個sub 03/31 13:57
35F：→ chemmachine : space 03/31 13:57
36F：推 chemmachine : 你的想法很正確了，span s是某個subspace，可是如果 03/31 14:10
37F：→ chemmachine : 我把課本裡的每個subspace都寫出它的span{x1 x2 x3} 03/31 14:10
38F：→ chemmachine : 這樣是不是很嚕嗦?而且s有可能有無限多個集合或未知 03/31 14:11
39F：推 sin55688 : 樓上的回答會誤導原PO吧，例如"不同定理上有時用spa 03/31 16:38
40F：→ sin55688 : n有時用subspace"? span跟subspace怎會這樣混著用? 03/31 16:40
42F：→ chemmachine : 說每個SPAN會形成一個SUBSPACE，每個SUBSPACE也可以 03/31 18:33
43F：→ chemmachine : 寫成一個SPAN。 03/31 18:33
44F：推 chemmachine : 但兩方要完整互推還是有一些寫法上的問題 03/31 18:36
45F：→ chemmachine : 有點像是學生問到循環小數或是分數，為什麼1/3不寫 03/31 18:37
46F：→ chemmachine : 0.bar3一樣。0.bar3還有1/3，2/6好多種寫法 03/31 18:38
47F：→ chemmachine : subspace如果你清楚了解它的結構可以寫成不同基底的 03/31 18:39
48F：→ chemmachine : 的span，每一個span也可以寫成subspace。李俊毅是學 03/31 18:40
49F：→ chemmachine : 電機的，我想他會用比較淺顯的道理來說明兩者關係 03/31 18:41
50F：推 chemmachine : 更正 李宏毅 03/31 18:55
51F：推 chemmachine : 給原po，span和subspace一開始的定義是不同的，所以 03/31 19:02
52F：→ chemmachine : 你應該要記得它們各自不同的定義。數學系的學生 03/31 19:03
53F：→ chemmachine : 不會說它們相同，因為除了線性空間，其他空間可能只 03/31 19:03
54F：→ chemmachine : 有subspace，沒有span。比如說某個拓樸空間。在線代 03/31 19:04
55F：→ chemmachine : 裡，可以由定理推得兩者相關性。要知道兩者是有關的 03/31 19:05
56F：→ chemmachine : 兩者的相關是推理而得，不是它們本來一樣 03/31 19:06
57F：推 sin55688 : 口語、符號的簡化過頭了吧。什麼叫span會形成一個子 03/31 19:06
58F：→ sin55688 : 集合，誰來span? 03/31 19:07
59F：推 chemmachine : <=subspace的基底的span 03/31 19:12
60F：→ tim32142000 : span的主詞是向量，指特定向量線性組合出來的空間 03/31 21:38
61F：→ tim32142000 : 主體 03/31 21:39
先謝謝四位大大的解說 尤其是C大打了一長串的文字解釋 還有R大一開始的講解 謝謝你們
經過你們的解釋 我有大概理解span 和 subspace的差別了但還是不是很確定 想再確認一下
我現在的理解是 subspace和span最大的不同是定義的起點是不一樣的 前者是從集合 後者是向量 只是因為線性組合出來的東西符合subspace的定義 所以最後推導出的結果兩者是相同的
所以span只能用一組向量來描述；而subspace可以用其他的方式，像是v1+v2=0之類的來描述
所以我們只會問一個向量set是不是一個subspace 而不會問該set是不是一個span
然後我們之所以會說一組向量的span而不用subspace 是因為想要強調該集合不只包含原本?
不知道可不可以這樣比喻 就好像物理上的光和電磁波 本來各自是從光學和電磁學導出來的
※ 編輯: benasking712 (140.113.121.118 臺灣), 04/01/2020 02:32:24
※ 編輯: benasking712 (140.113.121.118 臺灣), 04/01/2020 02:55:06
※ 編輯: benasking712 (140.113.121.118 臺灣), 04/01/2020 02:58:48
62F：→ Ricestone : 我們本來就不會說「一組向量的subspace」，就算真的04/01 03:05
63F：→ Ricestone : 有人這樣講，那也一定是指那組向量的span04/01 03:06
64F：→ Ricestone : 例如現在有(0,1),(1,0)這兩個向量，我們不會說04/01 03:06
65F：→ Ricestone : {(0,1),(1,0)}的subspace04/01 03:07
66F：→ Ricestone : 至少會講成包含這兩個向量的最小子空間之類的04/01 03:08
67F：→ Ricestone : 還有一個向量set通常都不會是空間，你現在遇到的狀04/01 03:10
68F：→ Ricestone : 況裡面，空間都是由無限個向量組成的 04/01 03:10
69F：→ Ricestone : 再說一次，span是對特定一組向量的敘述，講的就是04/01 03:12
70F：→ Ricestone : 這組向量線性組合出來的所有向量的集合，當然它同時04/01 03:13
71F：→ Ricestone : 是子空間，但我們想表達的就是「這組向量」能span出04/01 03:14
72F：→ Ricestone : 這個子空間，所以說這個子空間是「這組向量」的span04/01 03:14
73F：→ Ricestone : 然後你內文裡面對向量空間的定義，把any弄不見了 04/01 03:19
74F：→ Ricestone : 是裡面任意兩向量的線性組合都還在這集合裡面04/01 03:20
喔喔對ㄟ 不小心少了any之後 意思就變不一樣了
了解了解 謝謝你的解說 我想我了解span和subspace的差別了 再次謝謝你們~
75F：→ isaswa : subspace=符合某些特性的集合04/01 21:29
76F：→ isaswa : 任何的span都會是一個符合subspace特性的集合 04/01 21:30
※ 編輯: benasking712 (140.113.121.120 臺灣), 04/02/2020 03:11:26
77F：→ Ricestone : 我上面說一個向量set不會是空間少講了有限個數 04/02 03:15
78F：→ Ricestone : 不過你應該懂我的意思 04/02 03:15
79F：→ benasking712: 是指說“有限個”向量set不會是空間 但無限個有可能 04/02 03:24
80F：→ benasking712: 這樣嗎？ 04/02 03:24
81F：→ Ricestone : 因為空間本來就是種向量集合，所以當然不對 04/02 03:26
82F：→ Ricestone : 你現在會遇到的空間通常都是佈於實數或複數的，所以 04/02 03:27
83F：→ Ricestone : 通常會包含無限個向量 04/02 03:28
84F：→ Ricestone : 我覺得你現在最需要的是看或嘗試去證明span(S)是一 04/02 03:35
85F：→ Ricestone : 個subspace 04/02 03:35
86F：→ Ricestone : 這過程應該可以讓你更明白你現在的其他疑問 04/02 03:36
87F：→ benasking712: 不太懂你的意思 所以“有限個”是加在“還有一個“ 04/02 03:38
88F：→ benasking712: 有限個的”向量set通常都不會是空間，” 是加在這個 04/02 03:38
89F：→ benasking712: 地方嗎？意思是向量空間也可以只有有限個向量？ 04/02 03:38
90F：→ Ricestone : 係數積的係數如果是有限體就可以只有有限個向量 04/02 03:40
91F：→ benasking712: 所以係數積的係數沒有規定一定要是實數？ 04/02 03:46
92F：→ Ricestone : 對，實際上任何體都可以用來當係數 04/02 03:47
93F：→ Ricestone : 只是R跟C最常用而已 04/02 03:48
94F：→ benasking712: 好的了解 謝謝你的解說~謝謝 04/02 03:48