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标题[线代] vector space 和 span(名词)的差别
时间Tue Mar 31 11:19:32 2020
各位大大好 如同标题 我想请问vector space 和 span有什麽差别？
我有先爬过文 但是之前的几篇我还是没有看得很懂 所以想再请教一下
https://i.imgur.com/PV8UhhC.jpg
上面这个是我们的课文
里面写到"考虑一个向量的集合，如果里面有两个向量，他们的线性组合仍然在该集合里面，那该集合就是一个向量空间"
後面则写到"一个由给定向量以及他们的线性组合形成的集合，叫做span"
在我的理解，vector space 和 span 同样是由几个向量以及他们的线性组合构成的集合，看不出他们有什麽差别。
我本来以为span是生成vector space的东西，但那好像是基底在做的事情
我有去询问我们教授，他的解释是 span 中的向量 component 都是一样的，但 vector space 不一定
但课本的第一句话就有说 "has the same component"，而且线性组合出来的向量component应该也要是一样的吧？！
所以我觉得这个说法还满奇怪的
因此想请问 span 和 vector space 之间的关系是什麽？谢谢～
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 140.113.121.118 (台湾)
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1F：→ Ricestone : span是 这组向量的span 03/31 11:35
2F：→ Ricestone : 它是跟这组向量有特定关系的形容 03/31 11:36
3F：→ Ricestone : 所以我们口语上可以说一组向量能span出一个向量空间 03/31 11:37
4F：→ Ricestone : 就把它当动词用 03/31 11:37
5F：→ Ricestone : 所以你看书上写的是 span "of these vectors" 03/31 11:38
所以 span 和 vector space 讲的是同样的东西 但是用不同的角度形容?!
※ 编辑: benasking712 (140.113.121.118 台湾), 03/31/2020 12:15:51
6F：→ Ricestone : 不一样啊，vector space没有指定哪一组 03/31 12:16
7F：→ Ricestone : span是vector (sub)space，并跟固定一组向量有关系 03/31 12:17
8F：→ Ricestone : 我们会说A是一个向量空间，但不会直接说A是一个span 03/31 12:18
10F：→ Ricestone : 一定会说成是A是b这组向量的span 03/31 12:18
11F：→ chemmachine : 令v是一个向量空间。从v中取有限或无限个元素当作 03/31 12:20
12F：→ chemmachine : s。则span s是包含s这个集合的最小子空间(v的子空间03/31 12:21
13F：→ chemmachine : theorem1.5，照片要用小画家开，不然解析度不够。03/31 12:23
14F：→ chemmachine : 一个实例是考虑三维空间，在xy平面任取两不平行向量03/31 12:25
15F：→ chemmachine : 则span s=xy平面03/31 12:25
所以可以说 span 就是 vector subspace 罗？！
一组向量的span = 一组向量的vector subspace 可以这样说吗？
所以一定要先有vector space才能有span吗？
不好意思 还是没有完全理解
※ 编辑: benasking712 (140.113.121.120 台湾), 03/31/2020 12:37:38
※ 编辑: benasking712 (140.113.121.120 台湾), 03/31/2020 12:38:32
16F：推 chemmachine : 对。先取好vector space 再取span 。这组span会是v03/31 12:38
17F：→ chemmachine : 的子空间(subspace)03/31 12:39
18F：→ chemmachine : 如果你没有vector space的话，取linear combination 03/31 12:40
19F：→ chemmachine : 叫做所有s的线性组合的集合。不过也许有人会误用03/31 12:41
20F：→ chemmachine : 就是了03/31 12:41
21F：→ chemmachine : 一组向量的span = 一组向量的vector subspace 改为03/31 12:42
22F：→ chemmachine : 一组向量形成的subspace03/31 12:42
23F：推 chemmachine : 你的s里的元素很接近subspace的basis，差别在系数倍 03/31 12:44
24F：→ chemmachine : 和可以多一点重复的base03/31 12:45
25F：→ chemmachine : 跟做一些加减系数倍03/31 12:45
了解了解 不好意思想再问一下 既然span跟subspace一模一样为什麽还要用两个名词啊？有什麽特别的意义吗？
※ 编辑: benasking712 (140.113.121.120 台湾), 03/31/2020 12:52:21
26F：推 sin55688 : 为什麽会一模一样呢?你把课本中span全换成subspace 03/31 12:57
27F：→ sin55688 : 不觉得读起来很奇怪吗... 03/31 12:57
28F：→ sin55688 : 然後你向量空间的定义也不太正确 03/31 12:59
29F：推 chemmachine : subspace可以不知道他是那些元素展开，且强调它是子 03/31 13:52
30F：→ chemmachine : 空间的性质。span会强调它是线性组合的性质，且它不 03/31 13:53
31F：→ chemmachine : 一定能展成你所要的子空间。我们有一些惯用符号是约 03/31 13:54
32F：→ chemmachine : 定俗成的，你只需要知道它们在某些意义上有关，但在 03/31 13:55
33F：→ chemmachine : 不同定理上有时用span有时用subspace 03/31 13:56
34F：→ chemmachine : 而且v可以有很多个subspace，span s只是其中一个sub 03/31 13:57
35F：→ chemmachine : space 03/31 13:57
36F：推 chemmachine : 你的想法很正确了，span s是某个subspace，可是如果 03/31 14:10
37F：→ chemmachine : 我把课本里的每个subspace都写出它的span{x1 x2 x3} 03/31 14:10
38F：→ chemmachine : 这样是不是很噜嗦?而且s有可能有无限多个集合或未知 03/31 14:11
39F：推 sin55688 : 楼上的回答会误导原PO吧，例如"不同定理上有时用spa 03/31 16:38
40F：→ sin55688 : n有时用subspace"? span跟subspace怎会这样混着用? 03/31 16:40
42F：→ chemmachine : 说每个SPAN会形成一个SUBSPACE，每个SUBSPACE也可以 03/31 18:33
43F：→ chemmachine : 写成一个SPAN。 03/31 18:33
44F：推 chemmachine : 但两方要完整互推还是有一些写法上的问题 03/31 18:36
45F：→ chemmachine : 有点像是学生问到循环小数或是分数，为什麽1/3不写 03/31 18:37
46F：→ chemmachine : 0.bar3一样。0.bar3还有1/3，2/6好多种写法 03/31 18:38
47F：→ chemmachine : subspace如果你清楚了解它的结构可以写成不同基底的 03/31 18:39
48F：→ chemmachine : 的span，每一个span也可以写成subspace。李俊毅是学 03/31 18:40
49F：→ chemmachine : 电机的，我想他会用比较浅显的道理来说明两者关系 03/31 18:41
50F：推 chemmachine : 更正 李宏毅 03/31 18:55
51F：推 chemmachine : 给原po，span和subspace一开始的定义是不同的，所以 03/31 19:02
52F：→ chemmachine : 你应该要记得它们各自不同的定义。数学系的学生 03/31 19:03
53F：→ chemmachine : 不会说它们相同，因为除了线性空间，其他空间可能只 03/31 19:03
54F：→ chemmachine : 有subspace，没有span。比如说某个拓朴空间。在线代 03/31 19:04
55F：→ chemmachine : 里，可以由定理推得两者相关性。要知道两者是有关的 03/31 19:05
56F：→ chemmachine : 两者的相关是推理而得，不是它们本来一样 03/31 19:06
57F：推 sin55688 : 口语、符号的简化过头了吧。什麽叫span会形成一个子 03/31 19:06
58F：→ sin55688 : 集合，谁来span? 03/31 19:07
59F：推 chemmachine : <=subspace的基底的span 03/31 19:12
60F：→ tim32142000 : span的主词是向量，指特定向量线性组合出来的空间 03/31 21:38
61F：→ tim32142000 : 主体 03/31 21:39
先谢谢四位大大的解说 尤其是C大打了一长串的文字解释 还有R大一开始的讲解 谢谢你们
经过你们的解释 我有大概理解span 和 subspace的差别了但还是不是很确定 想再确认一下
我现在的理解是 subspace和span最大的不同是定义的起点是不一样的 前者是从集合 後者是向量 只是因为线性组合出来的东西符合subspace的定义 所以最後推导出的结果两者是相同的
所以span只能用一组向量来描述；而subspace可以用其他的方式，像是v1+v2=0之类的来描述
所以我们只会问一个向量set是不是一个subspace 而不会问该set是不是一个span
然後我们之所以会说一组向量的span而不用subspace 是因为想要强调该集合不只包含原本?
不知道可不可以这样比喻 就好像物理上的光和电磁波 本来各自是从光学和电磁学导出来的
※ 编辑: benasking712 (140.113.121.118 台湾), 04/01/2020 02:32:24
※ 编辑: benasking712 (140.113.121.118 台湾), 04/01/2020 02:55:06
※ 编辑: benasking712 (140.113.121.118 台湾), 04/01/2020 02:58:48
62F：→ Ricestone : 我们本来就不会说「一组向量的subspace」，就算真的04/01 03:05
63F：→ Ricestone : 有人这样讲，那也一定是指那组向量的span04/01 03:06
64F：→ Ricestone : 例如现在有(0,1),(1,0)这两个向量，我们不会说04/01 03:06
65F：→ Ricestone : {(0,1),(1,0)}的subspace04/01 03:07
66F：→ Ricestone : 至少会讲成包含这两个向量的最小子空间之类的04/01 03:08
67F：→ Ricestone : 还有一个向量set通常都不会是空间，你现在遇到的状04/01 03:10
68F：→ Ricestone : 况里面，空间都是由无限个向量组成的 04/01 03:10
69F：→ Ricestone : 再说一次，span是对特定一组向量的叙述，讲的就是04/01 03:12
70F：→ Ricestone : 这组向量线性组合出来的所有向量的集合，当然它同时04/01 03:13
71F：→ Ricestone : 是子空间，但我们想表达的就是「这组向量」能span出04/01 03:14
72F：→ Ricestone : 这个子空间，所以说这个子空间是「这组向量」的span04/01 03:14
73F：→ Ricestone : 然後你内文里面对向量空间的定义，把any弄不见了 04/01 03:19
74F：→ Ricestone : 是里面任意两向量的线性组合都还在这集合里面04/01 03:20
喔喔对ㄟ 不小心少了any之後 意思就变不一样了
了解了解 谢谢你的解说 我想我了解span和subspace的差别了 再次谢谢你们~
75F：→ isaswa : subspace=符合某些特性的集合04/01 21:29
76F：→ isaswa : 任何的span都会是一个符合subspace特性的集合 04/01 21:30
※ 编辑: benasking712 (140.113.121.120 台湾), 04/02/2020 03:11:26
77F：→ Ricestone : 我上面说一个向量set不会是空间少讲了有限个数 04/02 03:15
78F：→ Ricestone : 不过你应该懂我的意思 04/02 03:15
79F：→ benasking712: 是指说“有限个”向量set不会是空间 但无限个有可能 04/02 03:24
80F：→ benasking712: 这样吗？ 04/02 03:24
81F：→ Ricestone : 因为空间本来就是种向量集合，所以当然不对 04/02 03:26
82F：→ Ricestone : 你现在会遇到的空间通常都是布於实数或复数的，所以 04/02 03:27
83F：→ Ricestone : 通常会包含无限个向量 04/02 03:28
84F：→ Ricestone : 我觉得你现在最需要的是看或尝试去证明span(S)是一 04/02 03:35
85F：→ Ricestone : 个subspace 04/02 03:35
86F：→ Ricestone : 这过程应该可以让你更明白你现在的其他疑问 04/02 03:36
87F：→ benasking712: 不太懂你的意思 所以“有限个”是加在“还有一个“ 04/02 03:38
88F：→ benasking712: 有限个的”向量set通常都不会是空间，” 是加在这个 04/02 03:38
89F：→ benasking712: 地方吗？意思是向量空间也可以只有有限个向量？ 04/02 03:38
90F：→ Ricestone : 系数积的系数如果是有限体就可以只有有限个向量 04/02 03:40
91F：→ benasking712: 所以系数积的系数没有规定一定要是实数？ 04/02 03:46
92F：→ Ricestone : 对，实际上任何体都可以用来当系数 04/02 03:47
93F：→ Ricestone : 只是R跟C最常用而已 04/02 03:48
94F：→ benasking712: 好的了解 谢谢你的解说~谢谢 04/02 03:48