作者Lanjaja ()
看板Math
標題[代數] n個不同大小的數的奇(偶)排列數目
時間Fri Mar 13 10:18:27 2020
想請問板上強者一個排列問題
假如有數列{a_n}，a_1 < a_2 < ... < a_n
a_1a_2...a_n是原始排列P。
現在把這n數打亂亂排成排列Q，
經過Q數列中的相鄰兩數交換多次回到原始排列P，
如果交換次數為奇數者稱Q排列為奇排列。
如果交換次數為偶數者稱Q排列為偶排列。
試證：
所有奇排列的數目為(1/2)n!
所以偶排列的數目為(1/2)n!
我只知道這兩者的總和應該要試所有排列數n!而已，
不知道要怎麼把所有奇、偶排列列出
感謝各位的幫助～
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1F：推 LPH66 : 提示: 證明奇排列和偶排列有一樣多個 03/13 10:48
2F：推 chemmachine : let f：奇排列-＞偶排列 定義域為所有奇排列。f(sig 03/13 12:27
3F：→ chemmachine : ma)=alpha*sigma alpha=(12)欲證f is one to one an 03/13 12:27
4F：→ chemmachine : d onto alpha*sigma1=alpha *sigma2 03/13 12:27
5F：→ chemmachine : 則sigma1=sigma2 令對任意偶排列，存在(12)*偶排列 03/13 12:27
6F：→ chemmachine : 為一個奇排列使函數成立。故f為 bijection 03/13 12:27
8F：→ chemmachine : 搜尋 alternating group order ，大學代數課本也有 03/13 12:30
9F：→ chemmachine : ，基礎的定理 03/13 12:30
10F：→ Lanjaja : 謝謝兩位。好難，沒受過正規代數訓練>< 請問L大如 03/13 13:47
11F：→ Lanjaja : 何證明奇排列數目和偶排列數目相等?這正是我想知道 03/13 13:48
12F：→ Lanjaja : 的，拜託，謝謝。c大的意思是奇排列偶排列bijection 03/13 13:49
13F：→ Lanjaja : 所以個數一樣?不知道我有沒有誤解 03/13 13:50
14F：推 chemmachine : 對呀，因為bijection 所以一樣。 03/13 14:58
16F：→ chemmachine : 你可以自己找 奇排列 偶排列，很多說明。 03/13 15:00
17F：→ Ricestone : 不過你要注意一下，這些方法跟你題目定義稍微不同 03/13 15:05
18F：→ Ricestone : 主要是你題目有說要「相鄰」的互換，所以想套的話要 03/13 15:05
19F：→ Ricestone : 先說明沒相鄰也一樣 03/13 15:06
20F：→ Ricestone : 如果你想自己想的話，還可以考慮用數學歸納法 03/13 15:06
21F：→ Ricestone : 從兩個元素的狀態開始 03/13 15:06
22F：推 chemmachine : 有一個定理 Every permutation is a product of two 03/13 18:06
23F：→ chemmachine : cycle. 2-cycle可以換成一串相鄰置換的相乘。所以相 03/13 18:08
24F：→ chemmachine : 鄰的置換和sn是相同的集合 03/13 18:09
25F：推 chemmachine : permutation的資料galian的contemporary abstract 03/13 18:15
26F：→ chemmachine : algebra 第五章有，薄薄13頁看完你就懂permutation 03/13 18:16
27F：→ chemmachine : 黃子嘉大師的離散好像也有就是了。不過補習班講義 03/13 18:18
28F：→ chemmachine : 會預設你上過課，原文書會預設你沒上課 03/13 18:19
29F：→ chemmachine : 其他好書當然也可以 03/13 18:19
30F：推 chemmachine : permutation的基本定理都滿自然的 03/13 18:21
31F：推 LPH66 : 單純以"相鄰"定義來看的話也有一個簡單的 bijection 03/13 20:33
32F：→ LPH66 : 任給一個排列, 它可能是奇可能是偶, 但互換固定位置 03/13 20:34
33F：→ LPH66 : 的兩個數後會得到它的伙伴, 這兩個必然一奇一偶 03/13 20:34
34F：→ LPH66 : 固定位置→固定相鄰位置 03/13 20:35
35F：→ LPH66 : 例如 12345<>12354, 32514<>32541, 54321<>54312 03/13 20:35
36F：→ LPH66 : 那所有排列都能這樣分組, 奇排列和偶排列就一樣多 03/13 20:36
37F：→ LPH66 : 這做法不需要先去看某特定排列是奇是偶 03/13 20:39
38F：→ LPH66 : 因為交換一組相鄰的關係能確定一組兩個必然一奇一偶 03/13 20:40
39F：→ Lanjaja : 12345<>12354，可是12534也<>12354會有多對一或一對 03/13 22:25
40F：→ Lanjaja : 多的問題，這樣就不是bijection了。 03/13 22:25
41F：→ Lanjaja : 另外我不太懂為什麼c大要引入(12)，看不懂... 03/13 22:26
42F：推 chemmachine : 列出所有的奇置換，每個乘以(12)會得到偶置換 03/13 22:34
43F：→ chemmachine : (12)的意思是將第一個位置和第二個位置對調 03/13 22:35
44F：→ chemmachine : 且每個這些偶置換兩兩不同，否則，將它們乘以(12) 03/13 22:36
45F：→ chemmachine : 會相同，矛盾。 (21)是(12)的反置換 03/13 22:37
46F：→ chemmachine : 你這應該是離散或代數的題目吧。 03/13 22:38
47F：→ Lanjaja : 我再想一下..謝謝。我是看商業數學，類似科普 03/13 22:40
48F：→ Lanjaja : 在講到行列式引進逆序數時一句話帶過，想不通上來問 03/13 22:42
49F：推 chemmachine : 喔喔。代數風華絕代，精妙的很，吾等只是凡夫。 03/13 22:43
50F：→ Lanjaja : 別這麼客氣。L大c大都是真強者，大家有目共睹 03/13 22:49
51F：→ Lanjaja : 也謝謝R大的提醒，我再消化一下 03/13 22:57
52F：推 LPH66 : 所以所有組合在配對時要換"固定"的一對相鄰數字 03/13 23:02
53F：→ LPH66 : 這樣才能保證所有排列全部配對成功 03/13 23:02
54F：→ LPH66 : 概念上其實跟 c 大提的"乘以(12)"是一樣的 03/13 23:03
55F：→ LPH66 : 每個排列把固定的兩數 ((12) = 第一第二數) 交換 03/13 23:04
56F：→ LPH66 : 即是它的配對 03/13 23:04