作者Lanjaja ()
看板Math
标题[代数] n个不同大小的数的奇(偶)排列数目
时间Fri Mar 13 10:18:27 2020
想请问板上强者一个排列问题
假如有数列{a_n}，a_1 < a_2 < ... < a_n
a_1a_2...a_n是原始排列P。
现在把这n数打乱乱排成排列Q，
经过Q数列中的相邻两数交换多次回到原始排列P，
如果交换次数为奇数者称Q排列为奇排列。
如果交换次数为偶数者称Q排列为偶排列。
试证：
所有奇排列的数目为(1/2)n!
所以偶排列的数目为(1/2)n!
我只知道这两者的总和应该要试所有排列数n!而已，
不知道要怎麽把所有奇、偶排列列出
感谢各位的帮助～
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1F：推 LPH66 : 提示: 证明奇排列和偶排列有一样多个 03/13 10:48
2F：推 chemmachine : let f：奇排列-＞偶排列 定义域为所有奇排列。f(sig 03/13 12:27
3F：→ chemmachine : ma)=alpha*sigma alpha=(12)欲证f is one to one an 03/13 12:27
4F：→ chemmachine : d onto alpha*sigma1=alpha *sigma2 03/13 12:27
5F：→ chemmachine : 则sigma1=sigma2 令对任意偶排列，存在(12)*偶排列 03/13 12:27
6F：→ chemmachine : 为一个奇排列使函数成立。故f为 bijection 03/13 12:27
8F：→ chemmachine : 搜寻 alternating group order ，大学代数课本也有 03/13 12:30
9F：→ chemmachine : ，基础的定理 03/13 12:30
10F：→ Lanjaja : 谢谢两位。好难，没受过正规代数训练>< 请问L大如 03/13 13:47
11F：→ Lanjaja : 何证明奇排列数目和偶排列数目相等?这正是我想知道 03/13 13:48
12F：→ Lanjaja : 的，拜托，谢谢。c大的意思是奇排列偶排列bijection 03/13 13:49
13F：→ Lanjaja : 所以个数一样?不知道我有没有误解 03/13 13:50
14F：推 chemmachine : 对呀，因为bijection 所以一样。 03/13 14:58
16F：→ chemmachine : 你可以自己找 奇排列 偶排列，很多说明。 03/13 15:00
17F：→ Ricestone : 不过你要注意一下，这些方法跟你题目定义稍微不同 03/13 15:05
18F：→ Ricestone : 主要是你题目有说要「相邻」的互换，所以想套的话要 03/13 15:05
19F：→ Ricestone : 先说明没相邻也一样 03/13 15:06
20F：→ Ricestone : 如果你想自己想的话，还可以考虑用数学归纳法 03/13 15:06
21F：→ Ricestone : 从两个元素的状态开始 03/13 15:06
22F：推 chemmachine : 有一个定理 Every permutation is a product of two 03/13 18:06
23F：→ chemmachine : cycle. 2-cycle可以换成一串相邻置换的相乘。所以相 03/13 18:08
24F：→ chemmachine : 邻的置换和sn是相同的集合 03/13 18:09
25F：推 chemmachine : permutation的资料galian的contemporary abstract 03/13 18:15
26F：→ chemmachine : algebra 第五章有，薄薄13页看完你就懂permutation 03/13 18:16
27F：→ chemmachine : 黄子嘉大师的离散好像也有就是了。不过补习班讲义 03/13 18:18
28F：→ chemmachine : 会预设你上过课，原文书会预设你没上课 03/13 18:19
29F：→ chemmachine : 其他好书当然也可以 03/13 18:19
30F：推 chemmachine : permutation的基本定理都满自然的 03/13 18:21
31F：推 LPH66 : 单纯以"相邻"定义来看的话也有一个简单的 bijection 03/13 20:33
32F：→ LPH66 : 任给一个排列, 它可能是奇可能是偶, 但互换固定位置 03/13 20:34
33F：→ LPH66 : 的两个数後会得到它的伙伴, 这两个必然一奇一偶 03/13 20:34
34F：→ LPH66 : 固定位置→固定相邻位置 03/13 20:35
35F：→ LPH66 : 例如 12345<>12354, 32514<>32541, 54321<>54312 03/13 20:35
36F：→ LPH66 : 那所有排列都能这样分组, 奇排列和偶排列就一样多 03/13 20:36
37F：→ LPH66 : 这做法不需要先去看某特定排列是奇是偶 03/13 20:39
38F：→ LPH66 : 因为交换一组相邻的关系能确定一组两个必然一奇一偶 03/13 20:40
39F：→ Lanjaja : 12345<>12354，可是12534也<>12354会有多对一或一对 03/13 22:25
40F：→ Lanjaja : 多的问题，这样就不是bijection了。 03/13 22:25
41F：→ Lanjaja : 另外我不太懂为什麽c大要引入(12)，看不懂... 03/13 22:26
42F：推 chemmachine : 列出所有的奇置换，每个乘以(12)会得到偶置换 03/13 22:34
43F：→ chemmachine : (12)的意思是将第一个位置和第二个位置对调 03/13 22:35
44F：→ chemmachine : 且每个这些偶置换两两不同，否则，将它们乘以(12) 03/13 22:36
45F：→ chemmachine : 会相同，矛盾。 (21)是(12)的反置换 03/13 22:37
46F：→ chemmachine : 你这应该是离散或代数的题目吧。 03/13 22:38
47F：→ Lanjaja : 我再想一下..谢谢。我是看商业数学，类似科普 03/13 22:40
48F：→ Lanjaja : 在讲到行列式引进逆序数时一句话带过，想不通上来问 03/13 22:42
49F：推 chemmachine : 喔喔。代数风华绝代，精妙的很，吾等只是凡夫。 03/13 22:43
50F：→ Lanjaja : 别这麽客气。L大c大都是真强者，大家有目共睹 03/13 22:49
51F：→ Lanjaja : 也谢谢R大的提醒，我再消化一下 03/13 22:57
52F：推 LPH66 : 所以所有组合在配对时要换"固定"的一对相邻数字 03/13 23:02
53F：→ LPH66 : 这样才能保证所有排列全部配对成功 03/13 23:02
54F：→ LPH66 : 概念上其实跟 c 大提的"乘以(12)"是一样的 03/13 23:03
55F：→ LPH66 : 每个排列把固定的两数 ((12) = 第一第二数) 交换 03/13 23:04
56F：→ LPH66 : 即是它的配对 03/13 23:04