作者snaredrum (好聽木琴)
看板Math
標題[微積] 四個變數的積分
時間Thu Mar 12 18:51:11 2020
請問有沒有可以算積分的軟體。? 數值解也可
假設有四個變數x,y,z,w
\int_{x^2+y^2+z^2+w^2 <=1} 1 /((x-2)^2+(y-2)^2+(z-2)^2+(w-2)^2)
請問能求出這個積分的數值解嗎?
就是球 f= 1 /((x-2)^2+(y-2)^2+(z-2)^2+(w-2)^2) 在四維的單位球的體積分
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2F：→ chemmachine : 維的指令 03/12 21:38
3F：→ chemmachine : n維球體積公式是已知的。 03/12 21:38
4F：推 chemmachine : 把它指令改成四維的看看。 03/12 21:43
9F：→ chemmachine : 約翰科朗用球表面積殼層去積分，設單位球表面積wn 03/12 21:52
10F：→ chemmachine : wn再用e^-r^2技巧求出，再和gamma做連結 03/12 21:53
11F：→ snaredrum : 謝謝回答，球體體積的公式我知道，但現在是不會算這 03/12 22:29
12F：→ snaredrum : 積分 03/12 22:29
13F：推 chemmachine : 最後一頁給出1/2pi^2*r^4 03/12 22:50
14F：→ chemmachine : 書裡對任意維度球均積分出來 03/12 22:50
15F：推 chemmachine : 喔喔我看錯了抱歉 03/12 22:52
16F：推 chemmachine : 將書的方法改一改，書裡f(r)代入1/r^2，得 03/12 23:09
17F：→ chemmachine : wn*1/(n-2)*r^(n-2)當n=4時w4=2pi^2 所求=pi^2r^2 03/12 23:11
18F：→ chemmachine : =pi^2 03/12 23:11
19F：推 chemmachine : 另解，觀察二維極座標x=cosM Y=sinM 03/12 23:15
20F：→ chemmachine : x=rsinMcosN Y=rsinMsinN Z=rcosM 03/12 23:16
21F：→ chemmachine : 得四維球座標 X=rsinMsinNcosP Y=rsinMsinNsinP 03/12 23:17
22F：→ chemmachine : z=rsinMcosN w=rcosM 03/12 23:18
23F：→ chemmachine : 仿照初維課本三維的球積分做出四維的球積分，答案 03/12 23:18
24F：→ chemmachine : 應相同 03/12 23:19
25F：→ snaredrum : 我問的問題的函數不是 1/r^2阿! 不過 非常感謝你的 03/13 00:42
26F：→ snaredrum : 提點 03/13 00:43
27F：推 chemmachine : 原來是(x，y,z)-(2,2,2),那極座標代入可以得到比較 03/13 01:45
28F：→ chemmachine : 顯式的解，分母一堆只能用估計的，偏積分也不太好 03/13 01:46
29F：→ chemmachine : 算。 03/13 01:46
30F：→ yhliu : 積分範圍是4維單位球體, 還是做4維球座標變換吧! 03/13 08:45
31F：推 chemmachine : 你這題是對|x-a|^-2做球體積分，如果是|x-a|^2是轉 03/13 09:03
32F：→ chemmachine : 動慣量，如果是x-a/|x-a|^3是萬有引力的殼層公式， 03/13 09:03
33F：→ chemmachine : 問題可簡化為集中在質心。算了一下，一維的球體(棒 03/13 09:03
34F：→ chemmachine : 子)不是集中在球心，所以此路大概也不通。這題大概 03/13 09:03
35F：→ chemmachine : 就是很醜的積分吧。 03/13 09:03
36F：推 chemmachine : |x-a|^2有平行軸定理 x-a/|x-a|^3有萬有引力殼層定 03/13 19:08
37F：→ chemmachine : 這題|x-a|^-2應該是沒有的 03/13 19:09