作者snaredrum (好听木琴)
看板Math
标题[微积] 四个变数的积分
时间Thu Mar 12 18:51:11 2020
请问有没有可以算积分的软体。? 数值解也可
假设有四个变数x,y,z,w
\int_{x^2+y^2+z^2+w^2 <=1} 1 /((x-2)^2+(y-2)^2+(z-2)^2+(w-2)^2)
请问能求出这个积分的数值解吗?
就是球 f= 1 /((x-2)^2+(y-2)^2+(z-2)^2+(w-2)^2) 在四维的单位球的体积分
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2F：→ chemmachine : 维的指令 03/12 21:38
3F：→ chemmachine : n维球体积公式是已知的。 03/12 21:38
4F：推 chemmachine : 把它指令改成四维的看看。 03/12 21:43
9F：→ chemmachine : 约翰科朗用球表面积壳层去积分，设单位球表面积wn 03/12 21:52
10F：→ chemmachine : wn再用e^-r^2技巧求出，再和gamma做连结 03/12 21:53
11F：→ snaredrum : 谢谢回答，球体体积的公式我知道，但现在是不会算这 03/12 22:29
12F：→ snaredrum : 积分 03/12 22:29
13F：推 chemmachine : 最後一页给出1/2pi^2*r^4 03/12 22:50
14F：→ chemmachine : 书里对任意维度球均积分出来 03/12 22:50
15F：推 chemmachine : 喔喔我看错了抱歉 03/12 22:52
16F：推 chemmachine : 将书的方法改一改，书里f(r)代入1/r^2，得 03/12 23:09
17F：→ chemmachine : wn*1/(n-2)*r^(n-2)当n=4时w4=2pi^2 所求=pi^2r^2 03/12 23:11
18F：→ chemmachine : =pi^2 03/12 23:11
19F：推 chemmachine : 另解，观察二维极座标x=cosM Y=sinM 03/12 23:15
20F：→ chemmachine : x=rsinMcosN Y=rsinMsinN Z=rcosM 03/12 23:16
21F：→ chemmachine : 得四维球座标 X=rsinMsinNcosP Y=rsinMsinNsinP 03/12 23:17
22F：→ chemmachine : z=rsinMcosN w=rcosM 03/12 23:18
23F：→ chemmachine : 仿照初维课本三维的球积分做出四维的球积分，答案 03/12 23:18
24F：→ chemmachine : 应相同 03/12 23:19
25F：→ snaredrum : 我问的问题的函数不是 1/r^2阿! 不过 非常感谢你的 03/13 00:42
26F：→ snaredrum : 提点 03/13 00:43
27F：推 chemmachine : 原来是(x，y,z)-(2,2,2),那极座标代入可以得到比较 03/13 01:45
28F：→ chemmachine : 显式的解，分母一堆只能用估计的，偏积分也不太好 03/13 01:46
29F：→ chemmachine : 算。 03/13 01:46
30F：→ yhliu : 积分范围是4维单位球体, 还是做4维球座标变换吧! 03/13 08:45
31F：推 chemmachine : 你这题是对|x-a|^-2做球体积分，如果是|x-a|^2是转 03/13 09:03
32F：→ chemmachine : 动惯量，如果是x-a/|x-a|^3是万有引力的壳层公式， 03/13 09:03
33F：→ chemmachine : 问题可简化为集中在质心。算了一下，一维的球体(棒 03/13 09:03
34F：→ chemmachine : 子)不是集中在球心，所以此路大概也不通。这题大概 03/13 09:03
35F：→ chemmachine : 就是很丑的积分吧。 03/13 09:03
36F：推 chemmachine : |x-a|^2有平行轴定理 x-a/|x-a|^3有万有引力壳层定 03/13 19:08
37F：→ chemmachine : 这题|x-a|^-2应该是没有的 03/13 19:09