作者mic2754 (都是假的)
看板Math
標題[代數] GL(n,z)的order
時間Sat Mar 7 20:36:46 2020
最近在看一些入門的抽象代數,遇到了一些有關general linear group的問題
符號定義
GL(n,z)：由所有存在反矩陣且內部元素都屬於z這個集合的n階方陣所組成的集合（我可能翻的不好，附上原文)
The set of n*n invertible matrices with entries in z
Zk:小於k的非負整數組成的集合
例如:Z4=｛0, 1, 2, 3｝
問題一：
The order of GL(2 , Z7)
我的理解是問內部元素由{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}所組成且存在反矩陣的2*2矩陣個數
答案是給(7*7-1)(7*7-7)
因為第一個行(column)可以是任何向量，但就不能是0向量，第二個行可以是任何向量，但?
這樣一來第一行49種可能扣掉0向量這種可能，第二行也是49種可能，但要扣掉第一行向量的倍數，0到6倍共7種可能，就形成那個式子。
可是第二行去扣掉的那個向量有可能本來就不包含在那49種可能裡面吧？假設第一行向量是[1,2]的transpose好了，那它的4倍[4,8]的transpose本來就不在那49種可能裡面啊？但卻還是照樣扣掉？個人不太能理解這種算法，上網也沒找到關於這方面的解釋。
問題二
GL(n,z)在z是有限集的情況下是一個group？
就我所知，group要具備有封閉性。但是把GL(n,z)裡面的矩陣一直乘下去裡面的entry會超出這個z的範圍吧？那怎麼能還叫作general linear group呢？
問題可能有點基本，但是我算是半自學，沒什麼人能問，希望各位高手幫忙解惑，感謝。
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※ 編輯: mic2754 (1.164.173.3 臺灣), 03/07/2020 20:38:16
1F：推 jacky7987 : 8在Z7裡面是1，你的問題應該是這個？ 03/07 21:16
2F：→ mic2754 : 回樓上 03/07 21:26
3F：→ mic2754 : 那這樣會變[4,1]吧？這樣會是[1,2]的線性組合嗎？還 03/07 21:26
4F：→ mic2754 : 是說這在這定義裡面是算的呢？ 03/07 21:26
5F：推 chemmachine : 1等價於8在Z_7,所以[4，1]是[1，2]的線性組合 03/07 22:01
6F：→ chemmachine : 首先你要熟悉同餘式理論(MOD)這邊才會比較懂 03/07 22:02
7F：→ chemmachine : 問題一 對2*2的Z_7矩陣，第一行有7*7種組合，去掉 03/07 22:03
8F：→ chemmachine : (0，0)^t這一種，有7^2-1種。接下來用高中計數的乘 03/07 22:04
9F：→ chemmachine : 法原理。第二行一樣有7*7種情形，但去掉第一行的線 03/07 22:05
10F：→ chemmachine : 性組合，有{0，1，2，3，4，5，6}共7種倍數，也就 03/07 22:06
11F：→ chemmachine : 固定第一行為(a，b)，第二行為0*(a，b)、1*(a，b).. 03/07 22:07
12F：→ chemmachine : 2*(a，b)...6*(a，b)共七種，也就是7^2-7種。由乘法 03/07 22:08
13F：→ chemmachine : 原理將7^2-1和7^2-7相乘即為所求。你後面的想法想歪 03/07 22:09
14F：→ chemmachine : 了。 03/07 22:09
15F：→ chemmachine : 更高維的GL(n,z_p)如法炮製。 03/07 22:11
16F：→ chemmachine : 問題二ˋ檢查群的五個條件。1非空2矩陣乘法即為群乘 03/07 22:12
17F：→ chemmachine : 法3.群結合律即為矩陣結合律4.identity即為單位矩陣 03/07 22:13
18F：→ chemmachine : 6.inverse因為GL(n，z_p)det都不為1，故都有反矩陣 03/07 22:14
19F：→ chemmachine : 就是群的反元素。以上5項條件滿足群的5條件，故得 03/07 22:15
20F：→ chemmachine : 證 03/07 22:15
21F：推 chemmachine : GL(n,z_7)裡面的矩陣一直乘下去裡面的entry超過7之 03/07 22:17
22F：→ chemmachine : 後，你一直取mod7，不會超過6，只會在{0~6}之間跳來 03/07 22:18
23F：→ chemmachine : 跳去 03/07 22:19
24F：推 Vulpix : 上面說得很清楚了。我另外補充一個：你要先去找Zn 03/07 22:34
25F：→ Vulpix : 這種的資料看。如果那本書是入門書，前面應該有類 03/07 22:34
26F：→ Vulpix : 似的章節。 03/07 22:34
27F：→ mic2754 : 感謝chem大，我懂了，癥結點全在於我對Zn的理解不完 03/07 23:13
28F：→ mic2754 : 全，之前看太快覺得自己懂了就沒把定義弄到非常清楚 03/07 23:13
29F：→ mic2754 : ，現在看來這問題真的滿蠢的 03/07 23:13
※ 編輯: mic2754 (1.164.173.3 臺灣), 03/07/2020 23:14:25
30F：→ mic2754 : 回V大，是的前面有，但是我當時就直接掃過去了，想 03/07 23:17
31F：→ mic2754 : 這題時腦袋一直鬼打牆沒想到mod7，實在慚愧 03/07 23:17
※ 編輯: mic2754 (1.164.173.3 臺灣), 03/07/2020 23:19:36