作者mic2754 (都是假的)
看板Math
标题[代数] GL(n,z)的order
时间Sat Mar 7 20:36:46 2020
最近在看一些入门的抽象代数,遇到了一些有关general linear group的问题
符号定义
GL(n,z)：由所有存在反矩阵且内部元素都属於z这个集合的n阶方阵所组成的集合（我可能翻的不好，附上原文)
The set of n*n invertible matrices with entries in z
Zk:小於k的非负整数组成的集合
例如:Z4=｛0, 1, 2, 3｝
问题一：
The order of GL(2 , Z7)
我的理解是问内部元素由{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}所组成且存在反矩阵的2*2矩阵个数
答案是给(7*7-1)(7*7-7)
因为第一个行(column)可以是任何向量，但就不能是0向量，第二个行可以是任何向量，但?
这样一来第一行49种可能扣掉0向量这种可能，第二行也是49种可能，但要扣掉第一行向量的倍数，0到6倍共7种可能，就形成那个式子。
可是第二行去扣掉的那个向量有可能本来就不包含在那49种可能里面吧？假设第一行向量是[1,2]的transpose好了，那它的4倍[4,8]的transpose本来就不在那49种可能里面啊？但却还是照样扣掉？个人不太能理解这种算法，上网也没找到关於这方面的解释。
问题二
GL(n,z)在z是有限集的情况下是一个group？
就我所知，group要具备有封闭性。但是把GL(n,z)里面的矩阵一直乘下去里面的entry会超出这个z的范围吧？那怎麽能还叫作general linear group呢？
问题可能有点基本，但是我算是半自学，没什麽人能问，希望各位高手帮忙解惑，感谢。
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※ 编辑: mic2754 (1.164.173.3 台湾), 03/07/2020 20:38:16
1F：推 jacky7987 : 8在Z7里面是1，你的问题应该是这个？ 03/07 21:16
2F：→ mic2754 : 回楼上 03/07 21:26
3F：→ mic2754 : 那这样会变[4,1]吧？这样会是[1,2]的线性组合吗？还 03/07 21:26
4F：→ mic2754 : 是说这在这定义里面是算的呢？ 03/07 21:26
5F：推 chemmachine : 1等价於8在Z_7,所以[4，1]是[1，2]的线性组合 03/07 22:01
6F：→ chemmachine : 首先你要熟悉同余式理论(MOD)这边才会比较懂 03/07 22:02
7F：→ chemmachine : 问题一 对2*2的Z_7矩阵，第一行有7*7种组合，去掉 03/07 22:03
8F：→ chemmachine : (0，0)^t这一种，有7^2-1种。接下来用高中计数的乘 03/07 22:04
9F：→ chemmachine : 法原理。第二行一样有7*7种情形，但去掉第一行的线 03/07 22:05
10F：→ chemmachine : 性组合，有{0，1，2，3，4，5，6}共7种倍数，也就 03/07 22:06
11F：→ chemmachine : 固定第一行为(a，b)，第二行为0*(a，b)、1*(a，b).. 03/07 22:07
12F：→ chemmachine : 2*(a，b)...6*(a，b)共七种，也就是7^2-7种。由乘法 03/07 22:08
13F：→ chemmachine : 原理将7^2-1和7^2-7相乘即为所求。你後面的想法想歪 03/07 22:09
14F：→ chemmachine : 了。 03/07 22:09
15F：→ chemmachine : 更高维的GL(n,z_p)如法炮制。 03/07 22:11
16F：→ chemmachine : 问题二ˋ检查群的五个条件。1非空2矩阵乘法即为群乘 03/07 22:12
17F：→ chemmachine : 法3.群结合律即为矩阵结合律4.identity即为单位矩阵 03/07 22:13
18F：→ chemmachine : 6.inverse因为GL(n，z_p)det都不为1，故都有反矩阵 03/07 22:14
19F：→ chemmachine : 就是群的反元素。以上5项条件满足群的5条件，故得 03/07 22:15
20F：→ chemmachine : 证 03/07 22:15
21F：推 chemmachine : GL(n,z_7)里面的矩阵一直乘下去里面的entry超过7之 03/07 22:17
22F：→ chemmachine : 後，你一直取mod7，不会超过6，只会在{0~6}之间跳来 03/07 22:18
23F：→ chemmachine : 跳去 03/07 22:19
24F：推 Vulpix : 上面说得很清楚了。我另外补充一个：你要先去找Zn 03/07 22:34
25F：→ Vulpix : 这种的资料看。如果那本书是入门书，前面应该有类 03/07 22:34
26F：→ Vulpix : 似的章节。 03/07 22:34
27F：→ mic2754 : 感谢chem大，我懂了，症结点全在於我对Zn的理解不完 03/07 23:13
28F：→ mic2754 : 全，之前看太快觉得自己懂了就没把定义弄到非常清楚 03/07 23:13
29F：→ mic2754 : ，现在看来这问题真的满蠢的 03/07 23:13
※ 编辑: mic2754 (1.164.173.3 台湾), 03/07/2020 23:14:25
30F：→ mic2754 : 回V大，是的前面有，但是我当时就直接扫过去了，想 03/07 23:17
31F：→ mic2754 : 这题时脑袋一直鬼打墙没想到mod7，实在惭愧 03/07 23:17
※ 编辑: mic2754 (1.164.173.3 台湾), 03/07/2020 23:19:36