找到了！終於找到一勞永逸的做法了！ 令 d_n = √( a_n * b_n )， 則 d_{n+1} = d_n + 1/d_n。並且，顯然 d_2 ≧ 2。 事實上，當 n ≧ 2 時，d_n ≧ √(2n)。理由是數學歸納法。 d_{n+1} ≧ √(2n) + 1/√(2n) = (2n+1)/√(2n) ≧ √(2n+2)。 所以 a_50 + b_50 ≧ 2d_50 ≧ 2√100 = 20。 真的寫出來還意外地好看…… 至於 d_n ≧ √(2n) 其實也不是那麼天外飛來一筆， 這可以從差分方程 d_{n+1} - d_n = 1/d_n 看出端倪。 這個差分方程可以看成是 f'(x) = 1/f(x) 的離散化。 所以解的形狀也不會差太多才對。 ※ 引述《LPH66 (信じる力 奇跡起こすこと)》之銘言： : ※ 引述《tzhau (生命中無法承受之輕)》之銘言： : : 設數列<a_n>與<b_n>具a_n>0且b_n>0， : : a_(n+1)=a_n + [1/(b_n)], b_(n+1)=b_n + [1/(a_n)], n為正整數 : : 證明a_50 + b_50 > 20 : : 感覺這題會用到算幾，但還是試不太出來，不曉得是不是解題方向錯誤 : : 還煩請版友解惑，謝謝。 : : → yhliu : 想不出...數值計算在 a_1=b_1=1 的假設下算得20.16 01/21 13:27 : : → yhliu : 本想從 a(n+1)+b(n+1)=a(n)+b(n)[1+1/(a(n)b(n)) 01/21 13:30 : : → yhliu : 和 a(n+1)b(n+1)=a(n)b(n)+1/(a(n)b(n))+2 想辦法, 01/21 13:31 : : → yhliu : 沒成. 01/21 13:31 : 好像可以這樣看: : a_{n+1}+b_{n+1} = a_n+b_n+1/a_n+1/b_n : = a_n+b_n+(a_n+b_n)/(a_n*b_n) : ≧ a_n+b_n+(a_n+b_n)/[(a_n+b_n)/2]^2 (這步用了算幾) : = a_n+b_n+4/(a_n+b_n) : 也就是說, 若令 c_n = a_n+b_n, 則有 c_{n+1} ≧ c_n + 4/c_n : 由於 c_2 = a_2+b_2 = a_1+1/a_1+b_1+1/b_1 ≧ 2+2 = 4 易知 c_n ≧ 4 對 n≧2 : 那麼 c_{n+1} 會在 c_n 取得極小值時取得極小值 : (函數 x+4/x 可由算幾知在 x=4/x 即 x=2 時取得極小值, 且它在 x≧2 時為遞增) : 又 c_2 = a_2+b_2 = 4 可在 a_1 = b_1 = 1 得到 : 而在這個起始條件下有 c_{n+1} = 2(c_n/2 + 2/c_n) = c_n + 4/c_n : 也就是這個極小值狀況一路上去都是極小值成立 : 加上上面已經算得的此時 c_50 ～ 20.16 即可證得原式 : === : 不過這裡還有一個問題在於 c_50 ＞ 20 這條件很緊, 因為 c_49 ～ 19.97 : 也就是說這還真的得要一路這樣求上來才能確定第 50 項和大於 20 : 中間應該沒有什麼估計的空間, 感覺筆算無理... : === : 是說原本我也有想到乘積數列 (即上面所引推文三樓的那條) : 還想說乘積只跟前項乘積有關應該有點東西, 可是還是沒法 XD : 最後還是回到和項這一串, 然後試了半天才發現這個做法 --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 163.13.112.58 (臺灣) ※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Math/M.1579680842.A.CCA.html ※ 編輯: Vulpix (163.13.112.58 臺灣), 01/22/2020 16:19:32 這作法也不錯。 不過我想我的MIT應該沒錯才是…… n=2 => d_2 = d_1 + 1/d_1 ≧ 2 by 算幾不等式 If d_k ≧ √(2k) (where k≧2), then d_{k+1} = d_k + 1/d_k ≧ √(2k) + 1/√(2k) = (2k+1)/√(2k) = (k + k+1)/√(2k) ≧ 2√[k(k+1)]/√(2k) = √(2k+2) 第一個不等號是因為 √(2k) ≧ 2，而 f(x)=x+1/x 在 x>1 時是遞增函數。 第二個不等號是算幾不等式。 ※ 編輯: Vulpix (1.163.55.68 臺灣), 01/26/2020 00:07:26