找到了！终於找到一劳永逸的做法了！ 令 d_n = √( a_n * b_n )， 则 d_{n+1} = d_n + 1/d_n。并且，显然 d_2 ≧ 2。 事实上，当 n ≧ 2 时，d_n ≧ √(2n)。理由是数学归纳法。 d_{n+1} ≧ √(2n) + 1/√(2n) = (2n+1)/√(2n) ≧ √(2n+2)。 所以 a_50 + b_50 ≧ 2d_50 ≧ 2√100 = 20。 真的写出来还意外地好看…… 至於 d_n ≧ √(2n) 其实也不是那麽天外飞来一笔， 这可以从差分方程 d_{n+1} - d_n = 1/d_n 看出端倪。 这个差分方程可以看成是 f'(x) = 1/f(x) 的离散化。 所以解的形状也不会差太多才对。 ※ 引述《LPH66 (信じる力 奇迹起こすこと)》之铭言： : ※ 引述《tzhau (生命中无法承受之轻)》之铭言： : : 设数列<a_n>与<b_n>具a_n>0且b_n>0， : : a_(n+1)=a_n + [1/(b_n)], b_(n+1)=b_n + [1/(a_n)], n为正整数 : : 证明a_50 + b_50 > 20 : : 感觉这题会用到算几，但还是试不太出来，不晓得是不是解题方向错误 : : 还烦请版友解惑，谢谢。 : : → yhliu : 想不出...数值计算在 a_1=b_1=1 的假设下算得20.16 01/21 13:27 : : → yhliu : 本想从 a(n+1)+b(n+1)=a(n)+b(n)[1+1/(a(n)b(n)) 01/21 13:30 : : → yhliu : 和 a(n+1)b(n+1)=a(n)b(n)+1/(a(n)b(n))+2 想办法, 01/21 13:31 : : → yhliu : 没成. 01/21 13:31 : 好像可以这样看: : a_{n+1}+b_{n+1} = a_n+b_n+1/a_n+1/b_n : = a_n+b_n+(a_n+b_n)/(a_n*b_n) : ≧ a_n+b_n+(a_n+b_n)/[(a_n+b_n)/2]^2 (这步用了算几) : = a_n+b_n+4/(a_n+b_n) : 也就是说, 若令 c_n = a_n+b_n, 则有 c_{n+1} ≧ c_n + 4/c_n : 由於 c_2 = a_2+b_2 = a_1+1/a_1+b_1+1/b_1 ≧ 2+2 = 4 易知 c_n ≧ 4 对 n≧2 : 那麽 c_{n+1} 会在 c_n 取得极小值时取得极小值 : (函数 x+4/x 可由算几知在 x=4/x 即 x=2 时取得极小值, 且它在 x≧2 时为递增) : 又 c_2 = a_2+b_2 = 4 可在 a_1 = b_1 = 1 得到 : 而在这个起始条件下有 c_{n+1} = 2(c_n/2 + 2/c_n) = c_n + 4/c_n : 也就是这个极小值状况一路上去都是极小值成立 : 加上上面已经算得的此时 c_50 ～ 20.16 即可证得原式 : === : 不过这里还有一个问题在於 c_50 ＞ 20 这条件很紧, 因为 c_49 ～ 19.97 : 也就是说这还真的得要一路这样求上来才能确定第 50 项和大於 20 : 中间应该没有什麽估计的空间, 感觉笔算无理... : === : 是说原本我也有想到乘积数列 (即上面所引推文三楼的那条) : 还想说乘积只跟前项乘积有关应该有点东西, 可是还是没法 XD : 最後还是回到和项这一串, 然後试了半天才发现这个做法 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 163.13.112.58 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1579680842.A.CCA.html ※ 编辑: Vulpix (163.13.112.58 台湾), 01/22/2020 16:19:32 这作法也不错。 不过我想我的MIT应该没错才是…… n=2 => d_2 = d_1 + 1/d_1 ≧ 2 by 算几不等式 If d_k ≧ √(2k) (where k≧2), then d_{k+1} = d_k + 1/d_k ≧ √(2k) + 1/√(2k) = (2k+1)/√(2k) = (k + k+1)/√(2k) ≧ 2√[k(k+1)]/√(2k) = √(2k+2) 第一个不等号是因为 √(2k) ≧ 2，而 f(x)=x+1/x 在 x>1 时是递增函数。 第二个不等号是算几不等式。 ※ 编辑: Vulpix (1.163.55.68 台湾), 01/26/2020 00:07:26