※ 引述《tzhau (生命中無法承受之輕)》之銘言： : 設數列<a_n>與<b_n>具a_n>0且b_n>0， : a_(n+1)=a_n + [1/(b_n)], b_(n+1)=b_n + [1/(a_n)], n為正整數 : 證明a_50 + b_50 > 20 : 感覺這題會用到算幾，但還是試不太出來，不曉得是不是解題方向錯誤 : 還煩請版友解惑，謝謝。 : → yhliu : 想不出...數值計算在 a_1=b_1=1 的假設下算得20.16 01/21 13:27 : → yhliu : 本想從 a(n+1)+b(n+1)=a(n)+b(n)[1+1/(a(n)b(n)) 01/21 13:30 : → yhliu : 和 a(n+1)b(n+1)=a(n)b(n)+1/(a(n)b(n))+2 想辦法, 01/21 13:31 : → yhliu : 沒成. 01/21 13:31 好像可以這樣看: a_{n+1}+b_{n+1} = a_n+b_n+1/a_n+1/b_n = a_n+b_n+(a_n+b_n)/(a_n*b_n) ≧ a_n+b_n+(a_n+b_n)/[(a_n+b_n)/2]^2 (這步用了算幾) = a_n+b_n+4/(a_n+b_n) 也就是說, 若令 c_n = a_n+b_n, 則有 c_{n+1} ≧ c_n + 4/c_n 由於 c_2 = a_2+b_2 = a_1+1/a_1+b_1+1/b_1 ≧ 2+2 = 4 易知 c_n ≧ 4 對 n≧2 那麼 c_{n+1} 會在 c_n 取得極小值時取得極小值 (函數 x+4/x 可由算幾知在 x=4/x 即 x=2 時取得極小值, 且它在 x≧2 時為遞增) 又 c_2 = a_2+b_2 = 4 可在 a_1 = b_1 = 1 得到 而在這個起始條件下有 c_{n+1} = 2(c_n/2 + 2/c_n) = c_n + 4/c_n 也就是這個極小值狀況一路上去都是極小值成立 加上上面已經算得的此時 c_50 ～ 20.16 即可證得原式 === 不過這裡還有一個問題在於 c_50 ＞ 20 這條件很緊, 因為 c_49 ～ 19.97 也就是說這還真的得要一路這樣求上來才能確定第 50 項和大於 20 中間應該沒有什麼估計的空間, 感覺筆算無理... === 是說原本我也有想到乘積數列 (即上面所引推文三樓的那條) 還想說乘積只跟前項乘積有關應該有點東西, 可是還是沒法 XD 最後還是回到和項這一串, 然後試了半天才發現這個做法 -- 'Oh, Harry, don't you see?' Hermione breathed. 'If she could have done one thing to make absolutely sure that every single person in this school will read your interview, it was banning it!' ---'Harry Potter and the order of the phoenix', P513 --

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