※ 引述《tzhau (生命中无法承受之轻)》之铭言： : 设数列<a_n>与<b_n>具a_n>0且b_n>0， : a_(n+1)=a_n + [1/(b_n)], b_(n+1)=b_n + [1/(a_n)], n为正整数 : 证明a_50 + b_50 > 20 : 感觉这题会用到算几，但还是试不太出来，不晓得是不是解题方向错误 : 还烦请版友解惑，谢谢。 : → yhliu : 想不出...数值计算在 a_1=b_1=1 的假设下算得20.16 01/21 13:27 : → yhliu : 本想从 a(n+1)+b(n+1)=a(n)+b(n)[1+1/(a(n)b(n)) 01/21 13:30 : → yhliu : 和 a(n+1)b(n+1)=a(n)b(n)+1/(a(n)b(n))+2 想办法, 01/21 13:31 : → yhliu : 没成. 01/21 13:31 好像可以这样看: a_{n+1}+b_{n+1} = a_n+b_n+1/a_n+1/b_n = a_n+b_n+(a_n+b_n)/(a_n*b_n) ≧ a_n+b_n+(a_n+b_n)/[(a_n+b_n)/2]^2 (这步用了算几) = a_n+b_n+4/(a_n+b_n) 也就是说, 若令 c_n = a_n+b_n, 则有 c_{n+1} ≧ c_n + 4/c_n 由於 c_2 = a_2+b_2 = a_1+1/a_1+b_1+1/b_1 ≧ 2+2 = 4 易知 c_n ≧ 4 对 n≧2 那麽 c_{n+1} 会在 c_n 取得极小值时取得极小值 (函数 x+4/x 可由算几知在 x=4/x 即 x=2 时取得极小值, 且它在 x≧2 时为递增) 又 c_2 = a_2+b_2 = 4 可在 a_1 = b_1 = 1 得到 而在这个起始条件下有 c_{n+1} = 2(c_n/2 + 2/c_n) = c_n + 4/c_n 也就是这个极小值状况一路上去都是极小值成立 加上上面已经算得的此时 c_50 ～ 20.16 即可证得原式 === 不过这里还有一个问题在於 c_50 ＞ 20 这条件很紧, 因为 c_49 ～ 19.97 也就是说这还真的得要一路这样求上来才能确定第 50 项和大於 20 中间应该没有什麽估计的空间, 感觉笔算无理... === 是说原本我也有想到乘积数列 (即上面所引推文三楼的那条) 还想说乘积只跟前项乘积有关应该有点东西, 可是还是没法 XD 最後还是回到和项这一串, 然後试了半天才发现这个做法 -- 'Oh, Harry, don't you see?' Hermione breathed. 'If she could have done one thing to make absolutely sure that every single person in this school will read your interview, it was banning it!' ---'Harry Potter and the order of the phoenix', P513 --

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