※ 引述《annboy (BlueGun)》之銘言： : 為了避免混淆，先定義一些符號: : (Ω,B,P) : probability space : Q : the set of all rational numbers : X:Ω→Q : a random variable : F:Q→[0,1] : CDF of X 藉這個例子, 我想說的是: 這分布函數是: 在所有有理數點不逢續, 在所有無理數點它是連續的. 要講清楚這點, 我們把定義寫得更清楚些: X 的值域是 Q, 並且在 Q 上有一個排序 q_1,...,q_n,... 使得我們很清楚 P[X=q_n] = p_n, 並且 Σp_n = 1. 假設所有 p_n 都是正數. 如若不然, 我們改考慮 Q' = {q_n in Q; p_n > 0} 當然, Σp_n 是個收斂的級數. 而 X 的分布函數是 F(x) = Σ_{q_n≦x} p_n. 若 x = q_n, 則 F(x) - F(x-) = p_n. 所以, 對任意 δ>0, F(x)-F(x-δ) ≧ p_n > 0. 所以 F 在此點不連續. 若 x not in Q. 由於 F 必是右連續, 我們要證明 F 在 x 連續, 只需證明它左連續. 也就是說, 對任意 ε>0, 私我們要找到一個 δ>0,使得 F(x) - F(y) < ε, 只要 x-δ < y < x 由於 F 是單調遞增, 事實上我們只要證明存在這麼個 δ>0 滿足 F(x)-F(x-δ) < ε 即可. 由於 Σp_n 收斂, 存在 N, 使得 Σ_{n>N} p_n < ε. 令 δ>0 且 δ < min{x-q_n; q_n < x, n≦N} 則若 x-δ < q_n < x, 必然 n>N. 故 F(x) - F(x-δ) = Σ_{q_n≦x; q_n>x-δ} p_n ≦ Σ_{n>N} p_n < ε 故 F 在此 x 連續. 這就是離散型隨機變數的基本性質: (1) 其有效值域(具正機率值的點的集合)是可數的. (2) 其分布函數在此隨機變數之有效值域各點不連續; 在有效值域之外各點都連續. 至於連續型隨機變數, 單以 "值域含不可數點" 是不夠的. 除了以分布函數處處連續為定義之外, 另一等價的定義是: R 上(假設只考慮實數值隨機變數)各點之單點機率皆為 0. 而就一般實數值隨機變數而言, 還有混合型——這並不是 只在純數學上討論, 而是實際應用上就有, 例如觀測資料 時小於 a 的以 a 記, 或大於 b 的以 b 記. 若原本是連 續型的, 如此修整過變成在 a 或 b 有正機率, 所以已不 是連續型了, 而是混合型隨機變數. 在實務應用上連續型隨機變數常伴隨 "機率密度",其分布 函數及一些量(如期望值變異數等)常涉及積分, 這是所謂 絕對連續型. 在比較純數學討論上, 則還有一種連續型隨 機變數不能用機率密度來表現其機率分布, 稱為奇異連續 型. 在有些機率論教本上就會描繪出這樣的例子: Cantor distribution 是一個典型的例子. ※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言： : 總結來說, 給一個隨機變數, 其(1) 離散與連續的定義 : (2) 值域可數與否 : (3) 累積分布函數連續與否 : 以上這三個的關係是?? 要給予明確定義, 除了用 "值域" 的概念外, 應加上 "機率". Def.: 一隨機變數稱離散的(離散型)條件是: 存在 R 的一可數子集 Q = { r_1, r_2, ... } 使 P{Q} = 1; 或等價的: 使 ΣP{r_n} = 1. 所有使 P{r_n} > 0 的點所形成的集合又稱為此隨機變數之 有效值域, 或稱為其 support. 一隨機變數為連續的(連續型)其條件是: 對 R 上任一點, 其單點機率 P{x} 均為 0. 連續型隨機變數之 support 可定義為 R 上使機率值為 1 之最小閉集合. 另一等價定義是 R 上所有使 P[x-δ < X ≦ x+δ] > 0 for any δ>0 之所有 x 所形成的集合. 依以上定義, 離散型隨機變數之有效值域是可數的; 而連續型 隨機變數之值域顯然不可數(可數集之機率值都是0). 又, 前面已證明了離散型隨機變數的分布函數在其有效值域各 點都是不連續, 而在其他處則處處連續. 事實上對任意隨機變數 X 而言, P[X=x] = 0 是其分布函數在 x 點連續的充要條件: P[X=] > 0 則 F(x)-F(x-) = P[X=x] > 0 即代表 F 在 x 左邊不連續; 反之, 取 δ_n↓0, 則 P[X=x] = P{∩_n[x-δ_n<x<x]) = lim_n (F(x)-F(x-δ_n)) = F(x) - F(x-) 因此 P[X=x] = 0 表示分布函數 F 在 x 左邊連續, 也就是 F 在 x 連續. 又: 連續型隨機變數之 support 兩種定義等價. 因若 A 是機 率 1 之最小閉集, 則 A 中一點 x 必有 P[x-δ<X<x+δ] > 0 for all δ>0, 否則 A 可排除 x 的一個 δ-鄰域仍是機率 1 之閉集, 那就 與 A 的定義矛盾了. 反之, 若 x 不在 A 中, 則 x 的一個 δ-鄰域完全在 A 之外, 當然有 P[x-δ<X<x+δ] = 0. --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.41.121.39 (臺灣) ※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Math/M.1579428282.A.654.html ※ 編輯: yhliu (114.41.121.39 臺灣), 01/19/2020 19:25:06 ※ 編輯: yhliu (114.41.121.39 臺灣), 01/19/2020 20:41:44