※ 引述《annboy (BlueGun)》之铭言： : 为了避免混淆，先定义一些符号: : (Ω,B,P) : probability space : Q : the set of all rational numbers : X:Ω→Q : a random variable : F:Q→[0,1] : CDF of X 藉这个例子, 我想说的是: 这分布函数是: 在所有有理数点不逢续, 在所有无理数点它是连续的. 要讲清楚这点, 我们把定义写得更清楚些: X 的值域是 Q, 并且在 Q 上有一个排序 q_1,...,q_n,... 使得我们很清楚 P[X=q_n] = p_n, 并且 Σp_n = 1. 假设所有 p_n 都是正数. 如若不然, 我们改考虑 Q' = {q_n in Q; p_n > 0} 当然, Σp_n 是个收敛的级数. 而 X 的分布函数是 F(x) = Σ_{q_n≦x} p_n. 若 x = q_n, 则 F(x) - F(x-) = p_n. 所以, 对任意 δ>0, F(x)-F(x-δ) ≧ p_n > 0. 所以 F 在此点不连续. 若 x not in Q. 由於 F 必是右连续, 我们要证明 F 在 x 连续, 只需证明它左连续. 也就是说, 对任意 ε>0, 私我们要找到一个 δ>0,使得 F(x) - F(y) < ε, 只要 x-δ < y < x 由於 F 是单调递增, 事实上我们只要证明存在这麽个 δ>0 满足 F(x)-F(x-δ) < ε 即可. 由於 Σp_n 收敛, 存在 N, 使得 Σ_{n>N} p_n < ε. 令 δ>0 且 δ < min{x-q_n; q_n < x, n≦N} 则若 x-δ < q_n < x, 必然 n>N. 故 F(x) - F(x-δ) = Σ_{q_n≦x; q_n>x-δ} p_n ≦ Σ_{n>N} p_n < ε 故 F 在此 x 连续. 这就是离散型随机变数的基本性质: (1) 其有效值域(具正机率值的点的集合)是可数的. (2) 其分布函数在此随机变数之有效值域各点不连续; 在有效值域之外各点都连续. 至於连续型随机变数, 单以 "值域含不可数点" 是不够的. 除了以分布函数处处连续为定义之外, 另一等价的定义是: R 上(假设只考虑实数值随机变数)各点之单点机率皆为 0. 而就一般实数值随机变数而言, 还有混合型——这并不是 只在纯数学上讨论, 而是实际应用上就有, 例如观测资料 时小於 a 的以 a 记, 或大於 b 的以 b 记. 若原本是连 续型的, 如此修整过变成在 a 或 b 有正机率, 所以已不 是连续型了, 而是混合型随机变数. 在实务应用上连续型随机变数常伴随 "机率密度",其分布 函数及一些量(如期望值变异数等)常涉及积分, 这是所谓 绝对连续型. 在比较纯数学讨论上, 则还有一种连续型随 机变数不能用机率密度来表现其机率分布, 称为奇异连续 型. 在有些机率论教本上就会描绘出这样的例子: Cantor distribution 是一个典型的例子. ※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之铭言： : 总结来说, 给一个随机变数, 其(1) 离散与连续的定义 : (2) 值域可数与否 : (3) 累积分布函数连续与否 : 以上这三个的关系是?? 要给予明确定义, 除了用 "值域" 的概念外, 应加上 "机率". Def.: 一随机变数称离散的(离散型)条件是: 存在 R 的一可数子集 Q = { r_1, r_2, ... } 使 P{Q} = 1; 或等价的: 使 ΣP{r_n} = 1. 所有使 P{r_n} > 0 的点所形成的集合又称为此随机变数之 有效值域, 或称为其 support. 一随机变数为连续的(连续型)其条件是: 对 R 上任一点, 其单点机率 P{x} 均为 0. 连续型随机变数之 support 可定义为 R 上使机率值为 1 之最小闭集合. 另一等价定义是 R 上所有使 P[x-δ < X ≦ x+δ] > 0 for any δ>0 之所有 x 所形成的集合. 依以上定义, 离散型随机变数之有效值域是可数的; 而连续型 随机变数之值域显然不可数(可数集之机率值都是0). 又, 前面已证明了离散型随机变数的分布函数在其有效值域各 点都是不连续, 而在其他处则处处连续. 事实上对任意随机变数 X 而言, P[X=x] = 0 是其分布函数在 x 点连续的充要条件: P[X=] > 0 则 F(x)-F(x-) = P[X=x] > 0 即代表 F 在 x 左边不连续; 反之, 取 δ_n↓0, 则 P[X=x] = P{∩_n[x-δ_n<x<x]) = lim_n (F(x)-F(x-δ_n)) = F(x) - F(x-) 因此 P[X=x] = 0 表示分布函数 F 在 x 左边连续, 也就是 F 在 x 连续. 又: 连续型随机变数之 support 两种定义等价. 因若 A 是机 率 1 之最小闭集, 则 A 中一点 x 必有 P[x-δ<X<x+δ] > 0 for all δ>0, 否则 A 可排除 x 的一个 δ-邻域仍是机率 1 之闭集, 那就 与 A 的定义矛盾了. 反之, 若 x 不在 A 中, 则 x 的一个 δ-邻域完全在 A 之外, 当然有 P[x-δ<X<x+δ] = 0. --

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