作者znmkhxrw (QQ)
看板Math
標題[分析] (實變)連續隨機變數定義
時間Sat Jan 18 21:30:33 2020
想請問一下連續隨機變數的定義, 目前我看到兩種版本
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<Def1>
我們說一個隨機變數是 離散:= 其值域可數
連續:= 其值域不可數
<Def2>
Formally, a continuous random variable is a random variable whose cumulative
distribution function is continuous everywhere
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但我遇到的問題是, 如果採用<Def1>並給一個連續隨機變數, 我並
沒有辦法證明其累積
分布函數是處處連續的
而雖然採用<Def2>的話, 我們很容易證明一個連續隨機變數的值域會是不可數
但這樣的話在<Def2>如果要定義離散隨機變數, 不就是要定義成累積分布函數非處處連續
總結來說, 給一個隨機變數, 其(1) 離散與連續的定義
(2) 值域可數與否
(3) 累積分布函數連續與否
以上這三個的關係是??
謝謝回答~
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1F：推 annboy : DEF1是廣義，DEF2是狹義。CDF必定是右連續 01/18 22:58
2F：→ annboy : 用DEF1定義連續隨機變數，應該可以造出CDF不是 01/18 22:59
3F：→ annboy : 左連續的 01/18 22:59
4F：→ znmkhxrw : 對阿 就是很容易造 所以才對第二個定義有意見 01/18 23:05
5F：→ znmkhxrw : 所以統計上的定義兩種都有人採用就是了?? 01/18 23:06
6F：→ annboy : 可是DEF2只要求almost everywhere，可能我想錯了 01/18 23:06
7F：→ annboy : 所以要找一個CDF，其左連續的點的集合不可數 01/18 23:08
8F：→ annboy : 統計上應該都用PDF能描述的，那就比DEF2還強得多 01/18 23:10
9F：→ annboy : 少打好多字 "其不左連續的點不可數且測度非0" 01/18 23:13
10F：→ annboy : 這樣感覺就不容易造了 甚至可能是若且唯若 01/18 23:13
11F：→ znmkhxrw : 我def2是看wiki的, 他是寫處處, 不過如果a.e.或許就 01/18 23:13
12F：→ znmkhxrw : 有機會跟def1等價 我再試試看^^ 01/18 23:13
13F：→ annboy : 我看錯了，我也不知道怎麼看成a.e. 01/18 23:24
14F：→ annboy : 不過沒想到能引起一些新的看法 01/18 23:25
15F：→ znmkhxrw : 另外我文中說def2推到def1很簡單 好像怪怪的 01/18 23:37
16F：→ znmkhxrw : 我當時是把無窮可數想成都是孤立點 沒考慮到有理數 01/18 23:37
17F：→ znmkhxrw : 這種特殊情況 所以現在def1,2雙向都有問題QQ 01/18 23:38
18F：→ Wzx66666 : CDF沒有處處連續也有可能是某些範圍離散某些範圍連 01/19 00:45
19F：→ Wzx66666 : 續 01/19 00:45
20F：推 annboy : 如果隨機變數range是有理數，CDF不會處處連續 01/19 14:04
21F：→ annboy : 我回一篇文寫一些證明 01/19 14:04
22F：→ yhliu : Def1 把混合型也當成連續型了! 01/19 14:22
23F：→ yhliu : 分布函數是單調函數, 其不連續點至多是可數無限, 01/19 14:29
24F：→ yhliu : 也就是 a.e.連績. 所以稱連續型隨機變數, 當然是指 01/19 14:31
25F：→ yhliu : 分布函數處處連續. 而雜散型分布以分布函數來區分的 01/19 14:34
26F：→ yhliu : 話, 是指其跳躍點囊括了所有機率值, 也就是隨機變數 01/19 14:36
27F：→ yhliu : 的有效值域只包含可數個點. 但隨機變數或其分布函數 01/19 14:38
28F：→ yhliu : 還有混合型. 也就是一個分布函數可以按示為 01/19 14:39
29F：→ yhliu : F(x) = a Fc(x) + (1-a) Fd(x), Fc 是連續型, Fd 是 01/19 14:41
30F：→ yhliu : 離散型. 其中, Fc 甚至可再針分解為絕對連續和奇異 01/19 14:43
31F：→ yhliu : 連續. 絕對連續的分布函數可以用 p.d.f.表示, 奇異 01/19 14:45
32F：→ yhliu : 連續則不行, 它對 Lebesque測度的導數是 a.e. 0. 01/19 14:48