作者znmkhxrw (QQ)
看板Math
标题[分析] (实变)连续随机变数定义
时间Sat Jan 18 21:30:33 2020
想请问一下连续随机变数的定义, 目前我看到两种版本
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<Def1>
我们说一个随机变数是 离散:= 其值域可数
连续:= 其值域不可数
<Def2>
Formally, a continuous random variable is a random variable whose cumulative
distribution function is continuous everywhere
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但我遇到的问题是, 如果采用<Def1>并给一个连续随机变数, 我并
没有办法证明其累积
分布函数是处处连续的
而虽然采用<Def2>的话, 我们很容易证明一个连续随机变数的值域会是不可数
但这样的话在<Def2>如果要定义离散随机变数, 不就是要定义成累积分布函数非处处连续
总结来说, 给一个随机变数, 其(1) 离散与连续的定义
(2) 值域可数与否
(3) 累积分布函数连续与否
以上这三个的关系是??
谢谢回答~
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1F：推 annboy : DEF1是广义，DEF2是狭义。CDF必定是右连续 01/18 22:58
2F：→ annboy : 用DEF1定义连续随机变数，应该可以造出CDF不是 01/18 22:59
3F：→ annboy : 左连续的 01/18 22:59
4F：→ znmkhxrw : 对阿 就是很容易造 所以才对第二个定义有意见 01/18 23:05
5F：→ znmkhxrw : 所以统计上的定义两种都有人采用就是了?? 01/18 23:06
6F：→ annboy : 可是DEF2只要求almost everywhere，可能我想错了 01/18 23:06
7F：→ annboy : 所以要找一个CDF，其左连续的点的集合不可数 01/18 23:08
8F：→ annboy : 统计上应该都用PDF能描述的，那就比DEF2还强得多 01/18 23:10
9F：→ annboy : 少打好多字 "其不左连续的点不可数且测度非0" 01/18 23:13
10F：→ annboy : 这样感觉就不容易造了 甚至可能是若且唯若 01/18 23:13
11F：→ znmkhxrw : 我def2是看wiki的, 他是写处处, 不过如果a.e.或许就 01/18 23:13
12F：→ znmkhxrw : 有机会跟def1等价 我再试试看^^ 01/18 23:13
13F：→ annboy : 我看错了，我也不知道怎麽看成a.e. 01/18 23:24
14F：→ annboy : 不过没想到能引起一些新的看法 01/18 23:25
15F：→ znmkhxrw : 另外我文中说def2推到def1很简单 好像怪怪的 01/18 23:37
16F：→ znmkhxrw : 我当时是把无穷可数想成都是孤立点 没考虑到有理数 01/18 23:37
17F：→ znmkhxrw : 这种特殊情况 所以现在def1,2双向都有问题QQ 01/18 23:38
18F：→ Wzx66666 : CDF没有处处连续也有可能是某些范围离散某些范围连 01/19 00:45
19F：→ Wzx66666 : 续 01/19 00:45
20F：推 annboy : 如果随机变数range是有理数，CDF不会处处连续 01/19 14:04
21F：→ annboy : 我回一篇文写一些证明 01/19 14:04
22F：→ yhliu : Def1 把混合型也当成连续型了! 01/19 14:22
23F：→ yhliu : 分布函数是单调函数, 其不连续点至多是可数无限, 01/19 14:29
24F：→ yhliu : 也就是 a.e.连绩. 所以称连续型随机变数, 当然是指 01/19 14:31
25F：→ yhliu : 分布函数处处连续. 而杂散型分布以分布函数来区分的 01/19 14:34
26F：→ yhliu : 话, 是指其跳跃点囊括了所有机率值, 也就是随机变数 01/19 14:36
27F：→ yhliu : 的有效值域只包含可数个点. 但随机变数或其分布函数 01/19 14:38
28F：→ yhliu : 还有混合型. 也就是一个分布函数可以按示为 01/19 14:39
29F：→ yhliu : F(x) = a Fc(x) + (1-a) Fd(x), Fc 是连续型, Fd 是 01/19 14:41
30F：→ yhliu : 离散型. 其中, Fc 甚至可再针分解为绝对连续和奇异 01/19 14:43
31F：→ yhliu : 连续. 绝对连续的分布函数可以用 p.d.f.表示, 奇异 01/19 14:45
32F：→ yhliu : 连续则不行, 它对 Lebesque测度的导数是 a.e. 0. 01/19 14:48