標題很難問清楚@@ 總之我想證明以下性質(不確定正確與否) ====================================================== 令f:R→C為函數, R為實數集合, C為複數集合, r > 0 且f滿足 f(-x) = f(x)^bar , for all x€R (bar是取共軛複數) ---(●) 則 f(x) = 0 for all |x| >= r n <=> lim Σ f(x+kR) = 0 for all x,R satisfying r <= |x| <= R/2 n→∞ k=-n ====================================================== 目前知道(=>)這個方向自然成立, f不用另外假設什麼甚至連f(-x) = f(x)^bar都不用 而(<=)這個方向配合條件(●)可以得到: n lim Σ Re{f(x+kR)} = 0 for all x,R satisfying r <= |x| <= R/2 n→∞ k=-n n lim Σ Im{f(x+kR)} = 0 for all x,R satisfying r <= |x| <= R/2 n→∞ k=-n 但我額外想知道 (1) 可對f額外加什麼條件可以讓(<=)成立 (比如連續) (2) (<=)這個方向的反例 謝謝~~ ---------------------------------- 這個題目源自於對取樣定理的發想 若一個實函數x(t)的傅立葉轉換X(f)有緊緻支撐, say X(f) = 0 for all |f|>=r 則你只要對x(t)的取樣頻率R >= 2r, say x_n := x(n/R) 則x_n的DTFT(離散時間傅立葉轉換), say X_R(f), 就一定會滿足 X_R(f) = 0 for all r<=|x|<=R/2 因此我才有興趣知道反方向, 如果存在一個 r>0 使得 X_R(f) = 0 for all x, R satisfying r<=|x|<=R/2 那能不能就能證出X(f) = 0 for all |x|>=r 以訊號處理的語言來說 即想知道如果存在一個r>0 使得對x(t)的取樣頻率R >= 2r 所做的DTFT, say X_R(f), 都會有 X_R(f) = 0 for all r<=|x|<=R/2 那能不能說X(f)就只會在[-r,r]有值 因此寫成數學問題濃縮起來 就是我PO的問題~ --

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