各位板友好： 跟各位分享我在台灣大學 108-1 學期開設「應用數學方法」的課程大綱跟影片。 我在德國留學時修習六學期的「動力系統」，該課程主要由我針對「動力系統一」跟 「動力系統二」部分內容的擇取跟改良。由於我留學時有台灣獎學金的資助，希望透 過該課程能反饋些微貢獻。 註： 一、課程影片已公布在台大數學系的Youtube 頻道。 二、影片內容或教學表達上或有漏誤，宥於時間精力的限制，請見諒我沒有修訂。 三、課程講義跟作業有著作權的考量而無法分享，請見諒。 ＊課程概述 動力系統（dynamical system）是研究「變動」的數學理論。它起源於天體力學，是 「決定論」（determinism）宇宙觀的基礎，近代則與「隨機」跟「混沌」不斷纏鬥。 本課程將從動力系統的觀點研究微分方程，並介紹基本的質性分析（qualitative analysis）方法來掌握微分方程解的「幾何行為」（geometric behavior）。 主要方法如下： 一、存在唯一性理論：即使不知道確切解（exact solutions）公式，仍然能確定解 存在並唯一。 二、局部穩定性理論：掌握初始條件擾動時，解相對應擾動的程度。 、分歧理論：探討微分方程中特定參數擾動時，所有解形成的相圖（phase portrait） 變動的連續性。 上述質性分析方法為近代微分方程研究的基礎，在計算科學領域也已發展出相關的演算法 和套件。但請留意本課程著重於數學理論，不涉及數值計算。 ＊關鍵字 動力系統、常微分方程、存在唯一性理論、局部穩定性理論、分歧理論 ＊影片內容 請至 https://www.youtube.com/playlist?list=PLVJXJebpO4PjWVC0NJvkflKvRCqh64Opo 20190912 主題 Introduction; Flows and differential equations 20190919 主題 First integrals; Separation of variables; Pendulum equations; Examples: Chemical reactions and traveling waves 20190926 主題（陳世昕代課） Existence, uniqueness, and smooth dependence 20191003 主題 Linear autonomous ODEs; Example: Planar linear vector fields; Local stability 20191017 主題 Conjugation of flows: Grobman-Hartman theorem 20191024 主題 Stable manifolds and unstable manifolds; Center manifolds (introduction) 20191031 主題 Center manifolds (proof); Application: Singular perturbations 20191107 主題 Normal forms 20191114 主題 Example: Hopf-bifurcation; Example: Takens-Bogdanov bifurcation 20191205 主題 Lyapunov-Schmidt reduction; Stationary bifurcation 20191212 主題 Example: Euler's rod (three approaches: stationary bifurcation, time map, and shooting method) 20191219 主題 Equivariant Lyapunov-Schmidt reduction; Stationary symmetry breaking bifurcation 20191226 主題 Hopf bifurcation theorem --

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