各位板友好： 跟各位分享我在台湾大学 108-1 学期开设「应用数学方法」的课程大纲跟影片。 我在德国留学时修习六学期的「动力系统」，该课程主要由我针对「动力系统一」跟 「动力系统二」部分内容的择取跟改良。由於我留学时有台湾奖学金的资助，希望透 过该课程能反馈些微贡献。 注： 一、课程影片已公布在台大数学系的Youtube 频道。 二、影片内容或教学表达上或有漏误，宥於时间精力的限制，请见谅我没有修订。 三、课程讲义跟作业有着作权的考量而无法分享，请见谅。 ＊课程概述 动力系统（dynamical system）是研究「变动」的数学理论。它起源於天体力学，是 「决定论」（determinism）宇宙观的基础，近代则与「随机」跟「混沌」不断缠斗。 本课程将从动力系统的观点研究微分方程，并介绍基本的质性分析（qualitative analysis）方法来掌握微分方程解的「几何行为」（geometric behavior）。 主要方法如下： 一、存在唯一性理论：即使不知道确切解（exact solutions）公式，仍然能确定解 存在并唯一。 二、局部稳定性理论：掌握初始条件扰动时，解相对应扰动的程度。 、分歧理论：探讨微分方程中特定参数扰动时，所有解形成的相图（phase portrait） 变动的连续性。 上述质性分析方法为近代微分方程研究的基础，在计算科学领域也已发展出相关的演算法 和套件。但请留意本课程着重於数学理论，不涉及数值计算。 ＊关键字 动力系统、常微分方程、存在唯一性理论、局部稳定性理论、分歧理论 ＊影片内容 请至 https://www.youtube.com/playlist?list=PLVJXJebpO4PjWVC0NJvkflKvRCqh64Opo 20190912 主题 Introduction; Flows and differential equations 20190919 主题 First integrals; Separation of variables; Pendulum equations; Examples: Chemical reactions and traveling waves 20190926 主题（陈世昕代课） Existence, uniqueness, and smooth dependence 20191003 主题 Linear autonomous ODEs; Example: Planar linear vector fields; Local stability 20191017 主题 Conjugation of flows: Grobman-Hartman theorem 20191024 主题 Stable manifolds and unstable manifolds; Center manifolds (introduction) 20191031 主题 Center manifolds (proof); Application: Singular perturbations 20191107 主题 Normal forms 20191114 主题 Example: Hopf-bifurcation; Example: Takens-Bogdanov bifurcation 20191205 主题 Lyapunov-Schmidt reduction; Stationary bifurcation 20191212 主题 Example: Euler's rod (three approaches: stationary bifurcation, time map, and shooting method) 20191219 主题 Equivariant Lyapunov-Schmidt reduction; Stationary symmetry breaking bifurcation 20191226 主题 Hopf bifurcation theorem --

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