作者std92050 (比較宅的韓國瑜)
看板Math
標題[分析] 有關sin(nx) partial sum的問題
時間Sun Dec 29 11:55:37 2019
m
我在想證明 Σ sin(nx) 是bounded的 我是先換成exp(inx)用等比(公比≠1 x≠2kπ)
n=1
再取虛部換回來 算出來是 sin(x)-sin((m+1)x)+sin(mx)
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2-2cos(x)
看起來會x接近 2kπ的時候會炸 用羅必達的話會是0 但放到desmos上面看 m不是整數時
在2kπ仍然會炸掉 但m是整數時又是正常 bounded的 雖然跟我原先想證的無關
但看起來跟我用羅必達得到的結果不一樣 感覺很奇怪
總結一下我想問的事
1. 把partial sum 算出來之後 看起來分子是bounded的 分母bounded above
也用羅必達check分母趨近0時不會炸掉了 要怎麼進一步證明他是bounded的
甚至推出 │ m │ │ 1 │
│Σ sin(nx)│ < = │________│
│n=1 │ │sin(x/2)│
2.m不是整數的時候 為啥函數會出狀況 而且跟羅必達得到的結論相反
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https://i.imgur.com/0Jp4hXE.jpg
https://imgur.com/6eUIZfY.jpg
https://imgur.com/6P89gy7.jpg
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1F：推 AnnaOuO : 你在做這個的時候前提是m是整數 不然就不能那樣+ 12/29 12:50
https://imgur.com/Vf2VvN5.jpg
https://i.imgur.com/YBPULVF.jpg
我是只對算出來的結果討論 用羅必達和畫圖比較 這時候就不特別限制m是整數了
2F：推 znmkhxrw : 1. 其實用尤拉公式整理出來還不是最簡結果, 直接用 12/29 12:57
3F：→ znmkhxrw : 三角函數公式乘上sin(x/2)可以直接滾出partial sum= 12/29 12:57
4F：→ znmkhxrw : (cos(x/2)-cos((n+0.5)x))/(2sin(x/2)) 12/29 12:57
5F：→ znmkhxrw : 就得到你要的第一點結論 12/29 12:57
6F：推 znmkhxrw : 2. 我不知道desmos對於非整數的級數做什麼事 12/29 13:00
※ 編輯: std92050 (36.228.233.205 臺灣), 12/29/2019 13:14:10
7F：推 wohtp : m不是整數的時候分子就不是零啦，怎麼可以用羅必達 12/29 15:27
阿 原來如此 突破盲點了 感謝
※ 編輯: std92050 (36.228.233.205 臺灣), 12/29/2019 15:54:43