作者std92050 (比较宅的韩国瑜)
看板Math
标题[分析] 有关sin(nx) partial sum的问题
时间Sun Dec 29 11:55:37 2019
m
我在想证明 Σ sin(nx) 是bounded的 我是先换成exp(inx)用等比(公比≠1 x≠2kπ)
n=1
再取虚部换回来 算出来是 sin(x)-sin((m+1)x)+sin(mx)
____________________________
2-2cos(x)
看起来会x接近 2kπ的时候会炸 用罗必达的话会是0 但放到desmos上面看 m不是整数时
在2kπ仍然会炸掉 但m是整数时又是正常 bounded的 虽然跟我原先想证的无关
但看起来跟我用罗必达得到的结果不一样 感觉很奇怪
总结一下我想问的事
1. 把partial sum 算出来之後 看起来分子是bounded的 分母bounded above
也用罗必达check分母趋近0时不会炸掉了 要怎麽进一步证明他是bounded的
甚至推出 │ m │ │ 1 │
│Σ sin(nx)│ < = │________│
│n=1 │ │sin(x/2)│
2.m不是整数的时候 为啥函数会出状况 而且跟罗必达得到的结论相反
~
--
https://i.imgur.com/0Jp4hXE.jpg
https://imgur.com/6eUIZfY.jpg
https://imgur.com/6P89gy7.jpg
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 36.228.233.205 (台湾)
※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1577591745.A.FC0.html
1F：推 AnnaOuO : 你在做这个的时候前提是m是整数 不然就不能那样+ 12/29 12:50
https://imgur.com/Vf2VvN5.jpg
https://i.imgur.com/YBPULVF.jpg
我是只对算出来的结果讨论 用罗必达和画图比较 这时候就不特别限制m是整数了
2F：推 znmkhxrw : 1. 其实用尤拉公式整理出来还不是最简结果, 直接用 12/29 12:57
3F：→ znmkhxrw : 三角函数公式乘上sin(x/2)可以直接滚出partial sum= 12/29 12:57
4F：→ znmkhxrw : (cos(x/2)-cos((n+0.5)x))/(2sin(x/2)) 12/29 12:57
5F：→ znmkhxrw : 就得到你要的第一点结论 12/29 12:57
6F：推 znmkhxrw : 2. 我不知道desmos对於非整数的级数做什麽事 12/29 13:00
※ 编辑: std92050 (36.228.233.205 台湾), 12/29/2019 13:14:10
7F：推 wohtp : m不是整数的时候分子就不是零啦，怎麽可以用罗必达 12/29 15:27
阿 原来如此 突破盲点了 感谢
※ 编辑: std92050 (36.228.233.205 台湾), 12/29/2019 15:54:43