(1) https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Gossiping/M.1576468455.A.B67.html 0.999... = 1? 這種問題已經變成PTT月經文了XD 結果我無聊google 發現: https://zh.wikipedia.org/wiki/0.999%E2%80%A6#cite_ref-41 原來外國也是在熱烈討論啊XD 回到最上面那個連結，我覺得他想問的問題應該是為什麼用無限小數比較兩個實數(甚至 有理數)，為甚麼會和0.999....=1結果不一樣 n 那這個大家也大多認定0.999... = lim Σ 9/10^k n->inf k=1 那我覺得他的問題等在於不知道在實數系order到底是怎麼定，導致會想用高位到低位 比大小的方式比較2個數，那我覺得在不讀到高微等分析學和代數的情況下，只要用 https://en.wikipedia.org/wiki/Construction_of_the_real_numbers Construction from Cauchy sequences "Two Cauchy sequences are called equivalent if and only if the difference between them tends to zero" n 像這樣1-0.999... = 1 - lim Σ 9/10^k = lim (1-Σ 9/10^k) = lim 10^(-n) n->inf k=1 n->inf n->inf 利用 10^(-(n+1)) = 1/10 * 10^(-n) < 10^(-n) for all n in N 和Monotone Convergence Theorem，就可以得到 1-0.999... = 0 n 所以實際上即使不去求出 lim Σ 9/10^k 也可以得出兩數相等 n->inf k=1 也就是原PO認知到比較大小方式並不適用到實數系(甚至是有理數系) Eg: 原PO 0.999... vs 1 (老實說，高中應該也有教把循環小數化為分數的 做法，在比較0.499... vs 1/2 = 0.5，那照理說這個地方早該要有疑問才對 XD) 但這種比較法也偶爾會成立 Eg: 5/12 =0.41666... vs 3/7 = 0.428571472857... 所以我只覺得原PO不過只是舉出他覺得那種對的比較法的反例而已... 不過好像大家都集中在那個0.999... 是多少，我感覺是沒回答到原PO問題，各位覺得呢? _ _ (2) 還有像是x = 0.9 => 10x = 9.9 9x = 10x-x = 9 => x = 1有人認為這證法不對 n 我覺得在0.999... = lim Σ 9/10^k ，利用ratio test可以證明該級數收斂 n->inf k=1 既然收斂就可以做四則運算和係數積，所以把那這作法這樣解釋，應該很合理啊 XD (3) Math版也有這種討論，只是問題不太一樣，我個人也很同意V大說的用Cauchy sequence的等價關係去定義實數和數的order，只是好像很多人不了解order這種東西 是需要定義，其中一個就是把兩數相減，然後這個符合total order，這樣就不會產生像 原PO的問題 題外話: 其實我偷懶的時候比較兩分數，也會把它展成decimal approximation，但實際上 合理的方式還是要兩個通分，這對應到有理數相等也是用: p/q = m/n iff pn = qm， 並且發現到可以把這些數用equivalent class 定義，也顯示有理數表示法不唯一， 不知道為甚麼換到實數又有人覺得唯一了XD (4) 無窮小我看了之前的討論有nonstandard analysis，但在這個之前，我還是只能用 ε-δ去解釋無窮小和無窮大的意義，老實說這對初學者的確不好理解，所以有點好奇， 未來會不會有可能用nonstandard analysis的無窮小上微積分呢? --

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