(1) https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Gossiping/M.1576468455.A.B67.html 0.999... = 1? 这种问题已经变成PTT月经文了XD 结果我无聊google 发现: https://zh.wikipedia.org/wiki/0.999%E2%80%A6#cite_ref-41 原来外国也是在热烈讨论啊XD 回到最上面那个连结，我觉得他想问的问题应该是为什麽用无限小数比较两个实数(甚至 有理数)，为甚麽会和0.999....=1结果不一样 n 那这个大家也大多认定0.999... = lim Σ 9/10^k n->inf k=1 那我觉得他的问题等在於不知道在实数系order到底是怎麽定，导致会想用高位到低位 比大小的方式比较2个数，那我觉得在不读到高微等分析学和代数的情况下，只要用 https://en.wikipedia.org/wiki/Construction_of_the_real_numbers Construction from Cauchy sequences "Two Cauchy sequences are called equivalent if and only if the difference between them tends to zero" n 像这样1-0.999... = 1 - lim Σ 9/10^k = lim (1-Σ 9/10^k) = lim 10^(-n) n->inf k=1 n->inf n->inf 利用 10^(-(n+1)) = 1/10 * 10^(-n) < 10^(-n) for all n in N 和Monotone Convergence Theorem，就可以得到 1-0.999... = 0 n 所以实际上即使不去求出 lim Σ 9/10^k 也可以得出两数相等 n->inf k=1 也就是原PO认知到比较大小方式并不适用到实数系(甚至是有理数系) Eg: 原PO 0.999... vs 1 (老实说，高中应该也有教把循环小数化为分数的 做法，在比较0.499... vs 1/2 = 0.5，那照理说这个地方早该要有疑问才对 XD) 但这种比较法也偶尔会成立 Eg: 5/12 =0.41666... vs 3/7 = 0.428571472857... 所以我只觉得原PO不过只是举出他觉得那种对的比较法的反例而已... 不过好像大家都集中在那个0.999... 是多少，我感觉是没回答到原PO问题，各位觉得呢? _ _ (2) 还有像是x = 0.9 => 10x = 9.9 9x = 10x-x = 9 => x = 1有人认为这证法不对 n 我觉得在0.999... = lim Σ 9/10^k ，利用ratio test可以证明该级数收敛 n->inf k=1 既然收敛就可以做四则运算和系数积，所以把那这作法这样解释，应该很合理啊 XD (3) Math版也有这种讨论，只是问题不太一样，我个人也很同意V大说的用Cauchy sequence的等价关系去定义实数和数的order，只是好像很多人不了解order这种东西 是需要定义，其中一个就是把两数相减，然後这个符合total order，这样就不会产生像 原PO的问题 题外话: 其实我偷懒的时候比较两分数，也会把它展成decimal approximation，但实际上 合理的方式还是要两个通分，这对应到有理数相等也是用: p/q = m/n iff pn = qm， 并且发现到可以把这些数用equivalent class 定义，也显示有理数表示法不唯一， 不知道为甚麽换到实数又有人觉得唯一了XD (4) 无穷小我看了之前的讨论有nonstandard analysis，但在这个之前，我还是只能用 ε-δ去解释无穷小和无穷大的意义，老实说这对初学者的确不好理解，所以有点好奇， 未来会不会有可能用nonstandard analysis的无穷小上微积分呢? --

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