※ 引述《china2025 ()》之銘言： : 我不曉得有沒有po錯版 : 因為也許它是個哲學問題 : 但是我看它像是數學 : 所以來數學版問一下~ : 就是 : 1+1=2 為甚麼需要證明呢 : 謝謝 突然聽到 1+1=2 要證明，的確是有點沒頭沒腦的。要理解這件事， 就要知道數學的理想是 「所有宣稱的事情(定理)，都能從有限多條基本假設(公設)出發， 用邏輯推得，而不依靠直覺判斷。」 只有「公設」(axiom，也翻成「公理」)是我們決定不再證明的基本假設， 其他都要證明。要強調的一點是，公設是「決定」的， 因此只要我們高興 (並且在邏輯上不產生矛盾)，我們也可以考慮不同的公設。 從某個角度來說，數學就是探討「從一組給定的公設，能推導出什麼」的學問。 對於 1+1=2，一般人之所以會覺得它需要證明是莫名其妙，是因為它太簡單了。 但對數學家來說，簡單跟不用證明是兩回事。只要它沒有被當成公設，就要證明。 所以，重點其實不在於它要證明，而是我們想把它放在什麼樣的公設之上來證明。 一般來說，它是被視為正整數系統裡的一個事實。 而正整數系統就我的印象有兩種建立方式 (可能有不止兩種，只是我只聽過兩種)。 搜尋了一下....一種就是在推文中提到的， 由 Peano 提出的方法 (搜尋 Peano axioms)：直接「假設存在一個集合， 稱為正整數集，滿足blahblah...(就是一堆公設)」。 然後定義 “+” (以及其他運算) 是什麼意思。 另外一種方法，對外行人來說更深奧，直接用集合論的語言來構造正整數系， 也就是說背後的公設就直接採用集合論的公設。 可以搜尋 Set-theoretic definition of natural numbers。 無論採用哪一種，只要決定好了，證明 1+1=2 就是一個「明確的習題」。 如果沒有講清楚，直接叫人證明 1+1=2，沒人知道要幹什麼。 最後應該要說一下，數學家去證明 1+1=2 這種顯然得不得了的事， 絕對沒有質疑它的意思。沒有人敢質疑它。反之，是把這個「一定要對」的事， 當成對自己的測試。為了完成開頭所提到的理想， 數學家必須挑戰自己能不能從邏輯上構造出一個系統，裡面包含這件事。 數學家在意的是怎麼建構系統，而不是 1+1=2 的正確性。 --

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