※ 引述《china2025 ()》之铭言： : 我不晓得有没有po错版 : 因为也许它是个哲学问题 : 但是我看它像是数学 : 所以来数学版问一下~ : 就是 : 1+1=2 为甚麽需要证明呢 : 谢谢 突然听到 1+1=2 要证明，的确是有点没头没脑的。要理解这件事， 就要知道数学的理想是 「所有宣称的事情(定理)，都能从有限多条基本假设(公设)出发， 用逻辑推得，而不依靠直觉判断。」 只有「公设」(axiom，也翻成「公理」)是我们决定不再证明的基本假设， 其他都要证明。要强调的一点是，公设是「决定」的， 因此只要我们高兴 (并且在逻辑上不产生矛盾)，我们也可以考虑不同的公设。 从某个角度来说，数学就是探讨「从一组给定的公设，能推导出什麽」的学问。 对於 1+1=2，一般人之所以会觉得它需要证明是莫名其妙，是因为它太简单了。 但对数学家来说，简单跟不用证明是两回事。只要它没有被当成公设，就要证明。 所以，重点其实不在於它要证明，而是我们想把它放在什麽样的公设之上来证明。 一般来说，它是被视为正整数系统里的一个事实。 而正整数系统就我的印象有两种建立方式 (可能有不止两种，只是我只听过两种)。 搜寻了一下....一种就是在推文中提到的， 由 Peano 提出的方法 (搜寻 Peano axioms)：直接「假设存在一个集合， 称为正整数集，满足blahblah...(就是一堆公设)」。 然後定义 “+” (以及其他运算) 是什麽意思。 另外一种方法，对外行人来说更深奥，直接用集合论的语言来构造正整数系， 也就是说背後的公设就直接采用集合论的公设。 可以搜寻 Set-theoretic definition of natural numbers。 无论采用哪一种，只要决定好了，证明 1+1=2 就是一个「明确的习题」。 如果没有讲清楚，直接叫人证明 1+1=2，没人知道要干什麽。 最後应该要说一下，数学家去证明 1+1=2 这种显然得不得了的事， 绝对没有质疑它的意思。没有人敢质疑它。反之，是把这个「一定要对」的事， 当成对自己的测试。为了完成开头所提到的理想， 数学家必须挑战自己能不能从逻辑上构造出一个系统，里面包含这件事。 数学家在意的是怎麽建构系统，而不是 1+1=2 的正确性。 --

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