作者Vulpix (Sebastian)
看板Math
標題Re: [其他] 1=0.9999999999999... 嗎
時間Wed Dec 4 01:05:59 2019
又自刪= =
說你不懂 0.99... 就是因為你擅自把他想成是這個超實數：
[0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, 0.99999, ...]。
但是 0.99... 就只是 1 的另一個表示法而已。
1. 表示法
很多時候，同樣的東西會有兩種以上的表示法。
就像你是 china2025 也是 chronodl，
這時候就可以說 china2025 = chronodl，
但是在 PTT 帳號以外的範圍，這兩個字串通常是不相等的。
0.99... 是個用來表示「實數」的記號，
而且在其他人的認知中，就只是 1，擅自賦予其他意義是不應該。
2. 就算把 0.99... 視為 [0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, 0.99999, ...]，
也可以類似地看成 [0.99, 0.9999, 0.999999, 0.99999999, ...]，
而這兩個超實數並不相同，
他們和 1 = [1, 1, 1, 1, ...] 分別相差
[0.1, 0.01, 0.001, ...] 和 [0.01, 0.0001, 0.000001, ...]，
後者顯然是前者的平方，而超實數系是個 field (可以正常加減乘除)，
所以兩者必不相等，這會導致邏輯上的矛盾。
當然可以定義只有前者才是正統，後者是歪道。
但已經足夠說明不能用「視為」來為此辯護。
也就是說，這是 0.99... 的定義問題：
a. 應該作為有理數列 {0.9, 0.99, 0.999, ...} 在實數系中的極限。
b. 作為超實數 [0.9, 0.99, 0.999, ...]。
在通用符號中，都是採取 a 版定義，只有你想要用 b。
3. 即使在超實數系中，[0.99..., 0.99..., 0.99..., ...] 也只是
[1, 1, 1, ...] 的另一種表示法，所以還是「1」。
[0.99..., 0.99..., 0.99..., ...] 與 1 的差距還是 0，
中間不存在任何無窮小數。
當然，超實數用起來挺令人愉快的，
像是無窮近兩點的函數值差直接就是微分啦，
無窮小的坐標差就等於 1-form 啦，
然後切向量就是那些無窮大啦
(TM 和 T*M 的無窮大無窮小觀點也可以反過來看)，
無窮小的李群元素差可以直接拿來算李代數啦，之類的。
畢竟我們有一個 st 函數，能隨時丟掉我們不想看到的尾巴。
不過要建構整套非標準分析的工具……
現在有不少數學系連高微都沒教完全建構實數的方法了XD
如果你是想用哲學/邏輯來貶低人，你還是省省力氣。
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1F：推 znmkhxrw : 超實數好有趣唷 有因為發展這套理論而解決的問題嗎 12/04 01:29
2F：→ znmkhxrw : 還是目前延展實數就夠了?? 12/04 01:29
3F：→ Vulpix : 我覺得沒有也不會有就是了，他完全等價於標準分析。 12/04 01:30
4F：推 vacuityhu : 真的很愛自刪...看不懂 12/04 03:42
5F：→ Vulpix : 雖然我寫得好像很隨便，但是真要套上去的時候還是要 12/04 05:10
6F：→ Vulpix : 把流形tensor一個超實數系(over實數系)，或者說…… 12/04 05:12
7F：→ Vulpix : fiber product。 12/04 05:12