作者Vulpix (Sebastian)
看板Math
标题Re: [其他] 1=0.9999999999999... 吗
时间Wed Dec 4 01:05:59 2019
又自删= =
说你不懂 0.99... 就是因为你擅自把他想成是这个超实数：
[0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, 0.99999, ...]。
但是 0.99... 就只是 1 的另一个表示法而已。
1. 表示法
很多时候，同样的东西会有两种以上的表示法。
就像你是 china2025 也是 chronodl，
这时候就可以说 china2025 = chronodl，
但是在 PTT 帐号以外的范围，这两个字串通常是不相等的。
0.99... 是个用来表示「实数」的记号，
而且在其他人的认知中，就只是 1，擅自赋予其他意义是不应该。
2. 就算把 0.99... 视为 [0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, 0.99999, ...]，
也可以类似地看成 [0.99, 0.9999, 0.999999, 0.99999999, ...]，
而这两个超实数并不相同，
他们和 1 = [1, 1, 1, 1, ...] 分别相差
[0.1, 0.01, 0.001, ...] 和 [0.01, 0.0001, 0.000001, ...]，
後者显然是前者的平方，而超实数系是个 field (可以正常加减乘除)，
所以两者必不相等，这会导致逻辑上的矛盾。
当然可以定义只有前者才是正统，後者是歪道。
但已经足够说明不能用「视为」来为此辩护。
也就是说，这是 0.99... 的定义问题：
a. 应该作为有理数列 {0.9, 0.99, 0.999, ...} 在实数系中的极限。
b. 作为超实数 [0.9, 0.99, 0.999, ...]。
在通用符号中，都是采取 a 版定义，只有你想要用 b。
3. 即使在超实数系中，[0.99..., 0.99..., 0.99..., ...] 也只是
[1, 1, 1, ...] 的另一种表示法，所以还是「1」。
[0.99..., 0.99..., 0.99..., ...] 与 1 的差距还是 0，
中间不存在任何无穷小数。
当然，超实数用起来挺令人愉快的，
像是无穷近两点的函数值差直接就是微分啦，
无穷小的坐标差就等於 1-form 啦，
然後切向量就是那些无穷大啦
(TM 和 T*M 的无穷大无穷小观点也可以反过来看)，
无穷小的李群元素差可以直接拿来算李代数啦，之类的。
毕竟我们有一个 st 函数，能随时丢掉我们不想看到的尾巴。
不过要建构整套非标准分析的工具……
现在有不少数学系连高微都没教完全建构实数的方法了XD
如果你是想用哲学/逻辑来贬低人，你还是省省力气。
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1F：推 znmkhxrw : 超实数好有趣唷 有因为发展这套理论而解决的问题吗 12/04 01:29
2F：→ znmkhxrw : 还是目前延展实数就够了?? 12/04 01:29
3F：→ Vulpix : 我觉得没有也不会有就是了，他完全等价於标准分析。 12/04 01:30
4F：推 vacuityhu : 真的很爱自删...看不懂 12/04 03:42
5F：→ Vulpix : 虽然我写得好像很随便，但是真要套上去的时候还是要 12/04 05:10
6F：→ Vulpix : 把流形tensor一个超实数系(over实数系)，或者说…… 12/04 05:12
7F：→ Vulpix : fiber product。 12/04 05:12