雖然不太確定S大的作法有沒有怪怪的地方，沒空詳細做呢…… 不過從機率上來跑遞迴是可以考慮的。 首先，overload function P (誤) P(k,n) = P(首項=k 且 數列長度=n | 數列遞增到6為止) 那麼我們很容易就能知道 P(k,n) = Σ_{s=k}^{6} P(s,n-1)/6 但是此時要注意：n≧3 理由：P(k,n) = P(k=a_1≦a_2≦...<a_n=6 | 數列遞增到6為止) RHS 必須要 n≧3，寫法才是一致的。 P(k,2) = P(k=a_1<a_2=6 | 數列遞增到6為止) 沒有「≦」。 P(k,1) = P(k=a_1=6 | 數列遞增到6為止) 連「<」都沒了。 所以 P(1,1)=P(2,1)=...=P(5,1)=0, P(6,1)=(5/6)^5 ^^^^^^^^^^^^^^ 這項意外得很漂亮，但我沒想到解釋。 還有 P(1,2)=P(2,2)=...=P(5,2)=5^5/6^6, P(6,2)=0 然後就可以開始遞迴了，解出來的答案跟我上一篇是一樣的。 反正只是6階（全1/6的上三角）矩陣的乘冪，小意思，吧。 最後要算的是 Σ_{k=1}^{6} Σ_{n=1}^{∞} nP(k,n) = 2。 （自己沒算，交給Excel了，到n=18為止，絕對誤差約7E-10，與預測一致。） ※ 引述《StellaNe (凍結的大地)》之銘言： : ※ 引述《yyhsiu (hsiu)》之銘言： : : 大家好，以下是個擲骰子相關的問題。覺得有點難，想不出好辦法想請問大家 : : 擲(6面公平)骰子過程：不斷的丟，直到出現6就停止。 : : 問：在已知整個數列是遞增(可以等於)的情況下，數列的長度的期望值是多少？ : : ------------------------ : : 我很暴力 (加上程式模擬驗證) 的求出答案了，但感覺有比較漂亮的想法 : : 謝謝大家！ : 設數列長度期望值為x : E(n):=當前一個骰子投出為n，之後繼續完成試驗的數列長度期望值 : e.g：E(6)=0，E(1)=x : 先擲第一次骰子後，有六種可能 : 所以期望值為x=1+(1/6)*[E(1)+E(2)+E(3)+E(4)+E(5)+E(6)] : 觀察E(5)，當前一個骰子為5時，接下來完成試驗的可能情況為{6},{5,6},{5,5,6}... : 若將另一個試驗定義為直到出現2就停止(需遞增)，期望值記為E(1:2) : 可能情況為{2},{1,2},{1,1,2}... : 可與E(5)情況形成一對一且映成的對應，且發生機率一樣(可視為把骰子的5、6跟1、2對調) : 所以E(5)=E(1:2) : E(1:2)+E(2)=x (到2為止+從2開始到6為止) : E(5)+E(2)=x : 同理E(4)+E(3)=x : x=1+(1/6)*[E(1)+E(2)+E(3)+E(4)+E(5)+E(6)]=1+(1/6)*3x=1+x/2 : x=2 --

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