虽然不太确定S大的作法有没有怪怪的地方，没空详细做呢…… 不过从机率上来跑递回是可以考虑的。 首先，overload function P (误) P(k,n) = P(首项=k 且 数列长度=n | 数列递增到6为止) 那麽我们很容易就能知道 P(k,n) = Σ_{s=k}^{6} P(s,n-1)/6 但是此时要注意：n≧3 理由：P(k,n) = P(k=a_1≦a_2≦...<a_n=6 | 数列递增到6为止) RHS 必须要 n≧3，写法才是一致的。 P(k,2) = P(k=a_1<a_2=6 | 数列递增到6为止) 没有「≦」。 P(k,1) = P(k=a_1=6 | 数列递增到6为止) 连「<」都没了。 所以 P(1,1)=P(2,1)=...=P(5,1)=0, P(6,1)=(5/6)^5 ^^^^^^^^^^^^^^ 这项意外得很漂亮，但我没想到解释。 还有 P(1,2)=P(2,2)=...=P(5,2)=5^5/6^6, P(6,2)=0 然後就可以开始递回了，解出来的答案跟我上一篇是一样的。 反正只是6阶（全1/6的上三角）矩阵的乘幂，小意思，吧。 最後要算的是 Σ_{k=1}^{6} Σ_{n=1}^{∞} nP(k,n) = 2。 （自己没算，交给Excel了，到n=18为止，绝对误差约7E-10，与预测一致。） ※ 引述《StellaNe (冻结的大地)》之铭言： : ※ 引述《yyhsiu (hsiu)》之铭言： : : 大家好，以下是个掷骰子相关的问题。觉得有点难，想不出好办法想请问大家 : : 掷(6面公平)骰子过程：不断的丢，直到出现6就停止。 : : 问：在已知整个数列是递增(可以等於)的情况下，数列的长度的期望值是多少？ : : ------------------------ : : 我很暴力 (加上程式模拟验证) 的求出答案了，但感觉有比较漂亮的想法 : : 谢谢大家！ : 设数列长度期望值为x : E(n):=当前一个骰子投出为n，之後继续完成试验的数列长度期望值 : e.g：E(6)=0，E(1)=x : 先掷第一次骰子後，有六种可能 : 所以期望值为x=1+(1/6)*[E(1)+E(2)+E(3)+E(4)+E(5)+E(6)] : 观察E(5)，当前一个骰子为5时，接下来完成试验的可能情况为{6},{5,6},{5,5,6}... : 若将另一个试验定义为直到出现2就停止(需递增)，期望值记为E(1:2) : 可能情况为{2},{1,2},{1,1,2}... : 可与E(5)情况形成一对一且映成的对应，且发生机率一样(可视为把骰子的5、6跟1、2对调) : 所以E(5)=E(1:2) : E(1:2)+E(2)=x (到2为止+从2开始到6为止) : E(5)+E(2)=x : 同理E(4)+E(3)=x : x=1+(1/6)*[E(1)+E(2)+E(3)+E(4)+E(5)+E(6)]=1+(1/6)*3x=1+x/2 : x=2 --

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