作者koalababy (無尾熊)
看板Math
標題[中學] 高中數學資優考題
時間Thu Sep 27 16:43:32 2018
1！뜲！뜮...뜲00！共有200個數，去掉其中一個數之後，剩下199個數的連乘積是完全平
方數，請問去掉的這個數可能為？
其中n！=1*2*...*n
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1F：→ FAlin : 100! n!(n+1)!可以提出(n!)^2 09/27 18:31
2F：→ rax921930 : 全乘開=2*100!*[(n+1)!]^2 提出100! 我哪算錯!!? 09/27 19:26
3F：→ rax921930 : 上面[]內是 2n+1 n=0~99 09/27 19:27
4F：推 Starvilo : 兩兩一組最後會2^100*100！*A^2，所以拿掉100！ 09/27 19:43
5F：推 biglongtoday: 原式可以看成200個1、199個2、198個3...1個200相乘 09/27 19:48
6F：→ biglongtoday: 要使其為完全平方 就把偶數個的2 4 6 ... 200各提一 09/27 19:48
7F：→ biglongtoday: 個出來 提出2*4*6*200=2^100*100! 故100!要剃除 09/27 19:49
8F：→ biglongtoday: 修正 奇數個 09/27 19:50
9F：→ rax921930 : 自己鬼打牆少^100次 難怪搞不出來 09/27 20:02
10F：→ koalababy : 謝謝大家的幫忙 09/27 22:18
11F：→ musicbox810 : 可以建構，但是怎麼知道是唯一可能的數? 09/28 10:57
12F：推 LPH66 : 樓上這麼一提我才發現, 100! 可以的話 99! 也行 09/28 14:54
13F：→ LPH66 : 這兩個應該就是所有答案了 09/28 14:55
14F：→ LPH66 : 證明的話首先上面已知 100! 為解 09/28 14:55
15F：→ LPH66 : 若 n! 也為解則 n!/100! (或 100!/n!) 是平方數 09/28 14:57
16F：→ LPH66 : n>100 馬上撞到 101 所以沒了 09/28 14:57
17F：→ LPH66 : n<100 則往下有 97, 所以只要考慮 98! 和 99! 09/28 14:58
18F：→ LPH66 : 易知 99! 也是解, 98! 不是解 09/28 14:58
19F：→ LPH66 : 啊, 往下要多看 97!, 不過也是容易看出不是解 09/28 14:59