作者koalababy (无尾熊)
看板Math
标题[中学] 高中数学资优考题
时间Thu Sep 27 16:43:32 2018
1！뜲！뜮...뜲00！共有200个数，去掉其中一个数之後，剩下199个数的连乘积是完全平
方数，请问去掉的这个数可能为？
其中n！=1*2*...*n
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1F：→ FAlin : 100! n!(n+1)!可以提出(n!)^2 09/27 18:31
2F：→ rax921930 : 全乘开=2*100!*[(n+1)!]^2 提出100! 我哪算错!!? 09/27 19:26
3F：→ rax921930 : 上面[]内是 2n+1 n=0~99 09/27 19:27
4F：推 Starvilo : 两两一组最後会2^100*100！*A^2，所以拿掉100！ 09/27 19:43
5F：推 biglongtoday: 原式可以看成200个1、199个2、198个3...1个200相乘 09/27 19:48
6F：→ biglongtoday: 要使其为完全平方 就把偶数个的2 4 6 ... 200各提一 09/27 19:48
7F：→ biglongtoday: 个出来 提出2*4*6*200=2^100*100! 故100!要剃除 09/27 19:49
8F：→ biglongtoday: 修正 奇数个 09/27 19:50
9F：→ rax921930 : 自己鬼打墙少^100次 难怪搞不出来 09/27 20:02
10F：→ koalababy : 谢谢大家的帮忙 09/27 22:18
11F：→ musicbox810 : 可以建构，但是怎麽知道是唯一可能的数? 09/28 10:57
12F：推 LPH66 : 楼上这麽一提我才发现, 100! 可以的话 99! 也行 09/28 14:54
13F：→ LPH66 : 这两个应该就是所有答案了 09/28 14:55
14F：→ LPH66 : 证明的话首先上面已知 100! 为解 09/28 14:55
15F：→ LPH66 : 若 n! 也为解则 n!/100! (或 100!/n!) 是平方数 09/28 14:57
16F：→ LPH66 : n>100 马上撞到 101 所以没了 09/28 14:57
17F：→ LPH66 : n<100 则往下有 97, 所以只要考虑 98! 和 99! 09/28 14:58
18F：→ LPH66 : 易知 99! 也是解, 98! 不是解 09/28 14:58
19F：→ LPH66 : 啊, 往下要多看 97!, 不过也是容易看出不是解 09/28 14:59