※ 引述《magiclass (魔數學堂)》之銘言： : a,b為實數，試證： : 若a^3+b^3≦2，則a+b≦2 考慮f=a+b這個二元連續可微函數restricted on a^3+b^3<=2這個區域。 將a^3+b^3<=2拆解為a^3+b^3<2和a^3+b^3=2兩個區域。 先看f=a+b在a^3+b^3<2 partial f/partial a= partial f/partial b=0沒有critical point 所以極值不發生在a^3+b^3<2這個開區域。 現在考慮f=a+b restricted on a^3+b^3=2，是拉格朗日乘子法適用條件 f=a+b+lumbda(a^3+b^3-2) partial f/partial a=1+lumbda3a^2=0 partial f/partial b=1+lumbda3b^2=0 partial f/partial lumbda=a^3+b^3-2=0 解此方程組，相減得a=b，a=-b，lumbda=0 a=-b無解，lumbda=0無解，故a=b 解得a=b=1 故知(a，b，f)=(1，1，2)為一critical point。可能為極小值、鞍點、極大值。 因原方程a可趨近負無限大，b可趨近負無限大，故 (a，b，f)只可能為鞍點或極大值。 判斷含限制式之海森矩陣為正定、負定或不定矩陣來判別鞍點或極大值，較複雜略 過此步驟。 用消元法f=a+b，a^3+b^3=2，因a,b為實數， 可設b=三次根號2-a^3 故f=a+三次根號2-a^3 沒有限制式。 f'(a)=0解得a=1為critical point f"(a)=4/3(a^4+a)/(a^3-2)^3 f"(1)<0故a=1為極大值,故(a，b，f)=(1，1，2)為f極大值 --

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