※ 引述《magiclass (魔数学堂)》之铭言： : a,b为实数，试证： : 若a^3+b^3≦2，则a+b≦2 考虑f=a+b这个二元连续可微函数restricted on a^3+b^3<=2这个区域。 将a^3+b^3<=2拆解为a^3+b^3<2和a^3+b^3=2两个区域。 先看f=a+b在a^3+b^3<2 partial f/partial a= partial f/partial b=0没有critical point 所以极值不发生在a^3+b^3<2这个开区域。 现在考虑f=a+b restricted on a^3+b^3=2，是拉格朗日乘子法适用条件 f=a+b+lumbda(a^3+b^3-2) partial f/partial a=1+lumbda3a^2=0 partial f/partial b=1+lumbda3b^2=0 partial f/partial lumbda=a^3+b^3-2=0 解此方程组，相减得a=b，a=-b，lumbda=0 a=-b无解，lumbda=0无解，故a=b 解得a=b=1 故知(a，b，f)=(1，1，2)为一critical point。可能为极小值、鞍点、极大值。 因原方程a可趋近负无限大，b可趋近负无限大，故 (a，b，f)只可能为鞍点或极大值。 判断含限制式之海森矩阵为正定、负定或不定矩阵来判别鞍点或极大值，较复杂略 过此步骤。 用消元法f=a+b，a^3+b^3=2，因a,b为实数， 可设b=三次根号2-a^3 故f=a+三次根号2-a^3 没有限制式。 f'(a)=0解得a=1为critical point f"(a)=4/3(a^4+a)/(a^3-2)^3 f"(1)<0故a=1为极大值,故(a，b，f)=(1，1，2)为f极大值 --

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