※ 引述《duckie (達奇)》之銘言： ※ 引述《zoayzoay (陋衣)》之銘言： : 請教一題 : 甲、乙同時跑ㄧ圓形操場，甲第一圈跑100秒，第二圈跑97秒，如此每圈減少 : 3秒進行；乙每圈固定跑80秒，試問：甲經 秒後恰可追上乙? 觀察甲乙每圈跑的秒數: 甲 乙 甲跑完一圈後乙多跑的累進距離(設操場周長=L) 第1圈完 100 秒 80 秒 20*L/80 (乙速率=L/80) < L 第2圈完 97 秒 80 秒 (20+17)*L/80 = 37L/80 < L 第3圈完 94 秒 80 秒 (20+17+14)*L/80 = 51L/80 < L 第4圈完 91 秒 80 秒 (20+17+14+11)*L/80 = 62L/80 < L : : : : 第n圈完 100-3(n-1) 秒 80 秒 (43-3n)n/2*L/80 (n為正整數) 所以每當甲跑完一圈 乙就離甲 (43n-3n^2)/160 * L 的距離, 配方法得 [-3(n-43/6)^2/160 + 1849/1920]*L, 當n = 7圈時差距將近最大值 77L/80 < L 甲乙差距仍小一圈 而到了第8圈差距就變小 所以我就沒有討論這個部分 其實這個部分就已經不算是等差數列與等差級數了 如果要符合這種情形 就必須以x-t圖 (y軸表示跑的距離 x軸表示時間)來想 假設操場一圈L 甲的x-t情形: 時間(秒數) 起點 = 0 0 第1圈 = L 100 第2圈 = 2L 100+97 : : 第n圈 = nL (203-3n)n/2 因為不能每一圈跳一個級距 故n為實數 且n>=0 甲的x-t圖之動點P(x,y) = ( (203-3n)n/2, nL ), x,y皆>=0 n = y/L 代入 x = (203-3n)n/2 整理得甲的x-t曲線: y = L/6*[203-(41209-24x)^0.5] 乙的x-t情形: 時間(秒數) 起點 = 0 0 第1圈 = L 80 第2圈 = 2L 160 : : 第n圈 = nL 80n 同樣n為實數 且n>=0 乙的x-t圖: y = L/80*x 甲乙花了相同時間 來到相同的位置 => 求兩圖交點 L/6*[203-(41209-24x)^0.5] = L/80*x x(9x-10320) = 0 _ x = 0 秒 or 10320/9 = 1146.6 秒 (0秒為起點 故不合) _ _ y = 14.3 L 即 14.3 圈 p.s x-t圖的y軸其實是指位置 而非跑的距離 但跑圓形操場時每一圈回到原點就變成0 操場位置又要用極座標表示 又因為之前討論發現其實沒有乙多跑一圈以上 甲才碰到乙的問題 所以我就轉換成跑直線的情形 如果有誤請指教 謝謝~ -- ★ 聽說今天的星星很漂亮…可惜我看不到… ★ ★ ● █＞ √√ ▉█ ▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂By duckie ▉█ --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 110.28.100.221 ※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Math/M.1515342136.A.455.html ※ 編輯: duckie (110.28.100.221), 01/08/2018 00:25:26