※ 引述《duckie (达奇)》之铭言： ※ 引述《zoayzoay (陋衣)》之铭言： : 请教一题 : 甲、乙同时跑ㄧ圆形操场，甲第一圈跑100秒，第二圈跑97秒，如此每圈减少 : 3秒进行；乙每圈固定跑80秒，试问：甲经 秒後恰可追上乙? 观察甲乙每圈跑的秒数: 甲 乙 甲跑完一圈後乙多跑的累进距离(设操场周长=L) 第1圈完 100 秒 80 秒 20*L/80 (乙速率=L/80) < L 第2圈完 97 秒 80 秒 (20+17)*L/80 = 37L/80 < L 第3圈完 94 秒 80 秒 (20+17+14)*L/80 = 51L/80 < L 第4圈完 91 秒 80 秒 (20+17+14+11)*L/80 = 62L/80 < L : : : : 第n圈完 100-3(n-1) 秒 80 秒 (43-3n)n/2*L/80 (n为正整数) 所以每当甲跑完一圈 乙就离甲 (43n-3n^2)/160 * L 的距离, 配方法得 [-3(n-43/6)^2/160 + 1849/1920]*L, 当n = 7圈时差距将近最大值 77L/80 < L 甲乙差距仍小一圈 而到了第8圈差距就变小 所以我就没有讨论这个部分 其实这个部分就已经不算是等差数列与等差级数了 如果要符合这种情形 就必须以x-t图 (y轴表示跑的距离 x轴表示时间)来想 假设操场一圈L 甲的x-t情形: 时间(秒数) 起点 = 0 0 第1圈 = L 100 第2圈 = 2L 100+97 : : 第n圈 = nL (203-3n)n/2 因为不能每一圈跳一个级距 故n为实数 且n>=0 甲的x-t图之动点P(x,y) = ( (203-3n)n/2, nL ), x,y皆>=0 n = y/L 代入 x = (203-3n)n/2 整理得甲的x-t曲线: y = L/6*[203-(41209-24x)^0.5] 乙的x-t情形: 时间(秒数) 起点 = 0 0 第1圈 = L 80 第2圈 = 2L 160 : : 第n圈 = nL 80n 同样n为实数 且n>=0 乙的x-t图: y = L/80*x 甲乙花了相同时间 来到相同的位置 => 求两图交点 L/6*[203-(41209-24x)^0.5] = L/80*x x(9x-10320) = 0 _ x = 0 秒 or 10320/9 = 1146.6 秒 (0秒为起点 故不合) _ _ y = 14.3 L 即 14.3 圈 p.s x-t图的y轴其实是指位置 而非跑的距离 但跑圆形操场时每一圈回到原点就变成0 操场位置又要用极座标表示 又因为之前讨论发现其实没有乙多跑一圈以上 甲才碰到乙的问题 所以我就转换成跑直线的情形 如果有误请指教 谢谢~ -- ★ 听说今天的星星很漂亮…可惜我看不到… ★ ★ ● █＞ √√ ▉█ ▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂By duckie ▉█ --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 110.28.100.221 ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1515342136.A.455.html ※ 编辑: duckie (110.28.100.221), 01/08/2018 00:25:26