※ 引述《snaredrum (好聽木琴)》之銘言： : 大家都知道Galois理論是證明五次方以上的多項式沒有公式解 : 請問有人可以給個例子嗎? : 目前初淺的想到 假設有個degree 5的polynomial。首先它的Galois group not solvable : 那我猜這個 group 必須含有一個5-cycle. : 請問例子是? 還有能否解釋一下如何找到? 最近剛好代數課學到這邊就上來獻醜一下了 考慮f(x)=x^5-6x+3∈Q[x]，注意到f(x)在Q[x]是irreducible且separable 令K = splitting field of f(x) over Q 因為f(x)是separable，所以K over Q是一個Galois extension 假設f(x)的根分別是a1 a2 a3 a4 a5，則K=Q(a1,a2,a3,a4,a5) 對所有σ∈ Gal(K/Q)，σ一定會把每一個K裡面的元素送到他的（在Q裡的）最小多項式的根 換句話說，對每個ai，i=1到5，σ(ai)=aj for some j=1到5 所以Gal(K/Q)會是S5的一個子群 藉由一些高中數學(?)跟微積分的幫助我們可以知道f(x)=0有三個實根兩個虛根 假設虛根就是a1,a2，這表示a1 a2互為共軛 所以考慮一個特別的σ就是把a+bi送到a-bi（可以輕易驗證這是一個Gal(K/Q)的元素） 那σ會把a1------>a2 也就是說這個σ等於是S5裡的一個2-cycle a2------>a1 a3------>a3 a4------>a4 a5------>a5 到這裡休息一下，我們已經知道Gal(K/Q)是S5的subgroup而且有一個2-cycle 接著只要證明Gal(K/Q)裡面有一個5-cycle，那Gal(K/Q)就必須是S5 （因為S5可以用一個2-cycle跟一個5-cycle去generate出來） 好，因為f(x)是一個deg 5的irreducible poly over Q， 所以對任何一個它的根ai來說，我們有 [ Q(ai) : Q ]=5 因為Q ⊆Q(ai) ⊆K=Q(a1,a2,a3,a4,a5)，所以 5 | [ K : Q ]=|Gal(K/Q)| 根據柯西定理，Gal(K/Q)裡存在一個order是5的元素 但因為S5裡面order是5的元素只有5-cycle，所以Gal(K/Q)裡面必然存在一個5-cycle 於是根據上面的結論，Gal(K/Q)=S5 --

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