※ 引述《snaredrum (好听木琴)》之铭言： : 大家都知道Galois理论是证明五次方以上的多项式没有公式解 : 请问有人可以给个例子吗? : 目前初浅的想到 假设有个degree 5的polynomial。首先它的Galois group not solvable : 那我猜这个 group 必须含有一个5-cycle. : 请问例子是? 还有能否解释一下如何找到? 最近刚好代数课学到这边就上来献丑一下了 考虑f(x)=x^5-6x+3∈Q[x]，注意到f(x)在Q[x]是irreducible且separable 令K = splitting field of f(x) over Q 因为f(x)是separable，所以K over Q是一个Galois extension 假设f(x)的根分别是a1 a2 a3 a4 a5，则K=Q(a1,a2,a3,a4,a5) 对所有σ∈ Gal(K/Q)，σ一定会把每一个K里面的元素送到他的（在Q里的）最小多项式的根 换句话说，对每个ai，i=1到5，σ(ai)=aj for some j=1到5 所以Gal(K/Q)会是S5的一个子群 藉由一些高中数学(?)跟微积分的帮助我们可以知道f(x)=0有三个实根两个虚根 假设虚根就是a1,a2，这表示a1 a2互为共轭 所以考虑一个特别的σ就是把a+bi送到a-bi（可以轻易验证这是一个Gal(K/Q)的元素） 那σ会把a1------>a2 也就是说这个σ等於是S5里的一个2-cycle a2------>a1 a3------>a3 a4------>a4 a5------>a5 到这里休息一下，我们已经知道Gal(K/Q)是S5的subgroup而且有一个2-cycle 接着只要证明Gal(K/Q)里面有一个5-cycle，那Gal(K/Q)就必须是S5 （因为S5可以用一个2-cycle跟一个5-cycle去generate出来） 好，因为f(x)是一个deg 5的irreducible poly over Q， 所以对任何一个它的根ai来说，我们有 [ Q(ai) : Q ]=5 因为Q ⊆Q(ai) ⊆K=Q(a1,a2,a3,a4,a5)，所以 5 | [ K : Q ]=|Gal(K/Q)| 根据柯西定理，Gal(K/Q)里存在一个order是5的元素 但因为S5里面order是5的元素只有5-cycle，所以Gal(K/Q)里面必然存在一个5-cycle 於是根据上面的结论，Gal(K/Q)=S5 --

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