作者aromaQ626 (摳咪霉庇)
看板Math
標題Re: [微積] 一題積分面積
時間Sun Mar 19 16:16:19 2017
※ 引述《aromaQ626 (摳咪霉庇)》之銘言：
: ※ 引述《lyc870506 (QQ)》之銘言：
: : http://i.imgur.com/9eqDlHF.jpg
: : 第29題
: : 用這三個方程式圍起來的面
: : 求繞x軸旋轉體體積
: 所以我說你是要算體積還是表面積阿
: 標題內文這樣不統一是可以的嗎
: 以下體積的算法
: 畫個圖http://imgur.com/EDmShaL
: 圍起來的地方就是斜線區
: 繞x軸旋轉後大概長這樣
: http://imgur.com/wcpnZ5N
來試試看表面積^^
對於一曲線段沿x軸旋轉後的表面積
http://imgur.com/xDWu4Dh
會等於圓柱的側面積再乘上傾斜角度的貢獻
也就是 2πy dx * secθ = 2πy*√(1 + (dy/dx)^2) dx
因此本題的表面積可以想成3條曲線分別的貢獻得和
1/√2 1
= ∫2π(2x)*√(1 + 2^2) dx + ∫2π(x)*√(1 + 1^2) dx
0 0
1
+ ∫2π(1/x)*√(1 + (-x^2)^2) dx
1/√2
// √(1 + x^4)
// ∫-----------dx
// x
//
// x√(1 + x^4)
// =∫-----------dx (令x^2 = tanθ，2xdx = sec^2(θ)dθ)
// x^2
//
// sec^2(θ)*secθ
// = (1/2)∫-----------------dθ
// tanθ
//
// sinθ
// = (1/2)∫---------dθ (令u = cosθ)
// cos^4(θ)
//
// du
// = (1/2)∫----
// u^4
//
// = (-1/6) u^(-3)
//
// = (-1/6) (1 + x^4)^(3/2)
= 2π[√5 * 1/2 + √2 * 1/2 + (10√5)/96 - (√2)/3]
= π[(1/3)√2 + (29/24)√5]
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1F：推 uhmeiouramu: 小學生烙國中生02/02 22:03
2F：→ strike5566: 國中生烙高中生 02/02 22:11
3F：推 ccchenny: 但高中生不會烙大學生02/02 22:11
4F：推 aromaQ626: 因為大學生都在打LOL 02/02 22:13
5F：推 Zeeslan: 要烙也只會烙賽 02/02 22:18
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