※ 引述《aromaQ626 (抠咪霉庇)》之铭言： : ※ 引述《lyc870506 (QQ)》之铭言： : : http://i.imgur.com/9eqDlHF.jpg : : 第29题 : : 用这三个方程式围起来的面 : : 求绕x轴旋转体体积 : 所以我说你是要算体积还是表面积阿 : 标题内文这样不统一是可以的吗 : 以下体积的算法 : 画个图http://imgur.com/EDmShaL : 围起来的地方就是斜线区 : 绕x轴旋转後大概长这样 : http://imgur.com/wcpnZ5N 来试试看表面积^^ 对於一曲线段沿x轴旋转後的表面积 http://imgur.com/xDWu4Dh 会等於圆柱的侧面积再乘上倾斜角度的贡献 也就是 2πy dx * secθ = 2πy*√(1 + (dy/dx)^2) dx 因此本题的表面积可以想成3条曲线分别的贡献得和 1/√2 1 = ∫2π(2x)*√(1 + 2^2) dx + ∫2π(x)*√(1 + 1^2) dx 0 0 1 + ∫2π(1/x)*√(1 + (-x^2)^2) dx 1/√2 // √(1 + x^4) // ∫-----------dx // x // // x√(1 + x^4) // =∫-----------dx (令x^2 = tanθ，2xdx = sec^2(θ)dθ) // x^2 // // sec^2(θ)*secθ // = (1/2)∫-----------------dθ // tanθ // // sinθ // = (1/2)∫---------dθ (令u = cosθ) // cos^4(θ) // // du // = (1/2)∫---- // 　 u^4 // // = (-1/6) u^(-3) // // = (-1/6) (1 + x^4)^(3/2) = 2π[√5 * 1/2 + √2 * 1/2 + (10√5)/96 - (√2)/3] = π[(1/3)√2 + (29/24)√5] -- --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 218.161.55.240 ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1489911387.A.2F3.html