※ 引述《iamwjy (醉翁之意)》之銘言： : 1. f(x) = (1/x)cos(1/x^2), x ≠0 : f(0) = 0 : 請問 f 在 [0,1] 上是否黎曼可積？ : （原本黎曼可積是要求 bounded function，但這邊的意思是 : 如果對所有partition，和選取點，只要 partition 的 norm 趨近於0， : 這些黎曼和都會趨近於一個定值的話，就算是黎曼可積，不需要 bounded） : 是與否都請用黎曼和去處理，謝謝！ 我認為如果f在[a,b]無界，則對於你括號內的定義，都不會成立！ 也就是說，當時只考慮有界函數，可能就是因為這個理由，才會用極限的方式定義瑕積分 P.S. 我稱符合括號內敘述的函數叫作黎曼可積 <Lemma> 若f定義在[a,b], a<c<b 則sup{f(x)+f(y)：x€[a,c],y€[c,b]} =sup{f(x)：x€[a,c]} + sup{f(x)：x€[c,b]} 試證：若f在[a,b]無界，則f不黎曼可積 證明：假設f黎曼可積，則存在一個實數L使得 任給ε>0,存在一個δ>0,使得所有在[a,b]間的分割P={x_0=a<x_1<...<x_n=b} n ║P║<δ,則│Σf(t_i)(x_i-x_(i-1))-L│<ε, 對所有t_i€[x_(i-1),x_i]都對 i=1 給ε=1,取一個符合的P後,對不等式同取sup與inf，我們會發現 n sup{Σf(t_i)(x_i-x_(i-1))：t_i€[x_(i-1),x_i],i=1~n} 有限 i=1 by Lemma, 我們就有 sup{f(t_i)(x_i-x_(i-1))：t_i€[x_(i-1),x_i]}, for each i 所以f在每個[x_(i-1),x_i]有上界，因此f在[a,b]有上界 inf同理，因此f在[a,b]有下界，矛盾 : 2. 一個 在區間[a,b]上 unbounded 但瑕積分存在 的函數 : 是否一定找的到一個 partition 的數列 P_n，和相對應選取的點c_k， : 其中 |P_n|→0 當 n→∞， : 使得黎曼和發散 當 n→∞？ : 其實根據這篇文章 : http://www.docin.com/p-407594177.html : 應該就是都會"不可積"，但是我想知道找Partition的細節，所以才問的， : 麻煩各位高手了！！ --

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