※ 引述《iamwjy (醉翁之意)》之铭言： : 1. f(x) = (1/x)cos(1/x^2), x ≠0 : f(0) = 0 : 请问 f 在 [0,1] 上是否黎曼可积？ : （原本黎曼可积是要求 bounded function，但这边的意思是 : 如果对所有partition，和选取点，只要 partition 的 norm 趋近於0， : 这些黎曼和都会趋近於一个定值的话，就算是黎曼可积，不需要 bounded） : 是与否都请用黎曼和去处理，谢谢！ 我认为如果f在[a,b]无界，则对於你括号内的定义，都不会成立！ 也就是说，当时只考虑有界函数，可能就是因为这个理由，才会用极限的方式定义瑕积分 P.S. 我称符合括号内叙述的函数叫作黎曼可积 <Lemma> 若f定义在[a,b], a<c<b 则sup{f(x)+f(y)：x€[a,c],y€[c,b]} =sup{f(x)：x€[a,c]} + sup{f(x)：x€[c,b]} 试证：若f在[a,b]无界，则f不黎曼可积 证明：假设f黎曼可积，则存在一个实数L使得 任给ε>0,存在一个δ>0,使得所有在[a,b]间的分割P={x_0=a<x_1<...<x_n=b} n ║P║<δ,则│Σf(t_i)(x_i-x_(i-1))-L│<ε, 对所有t_i€[x_(i-1),x_i]都对 i=1 给ε=1,取一个符合的P後,对不等式同取sup与inf，我们会发现 n sup{Σf(t_i)(x_i-x_(i-1))：t_i€[x_(i-1),x_i],i=1~n} 有限 i=1 by Lemma, 我们就有 sup{f(t_i)(x_i-x_(i-1))：t_i€[x_(i-1),x_i]}, for each i 所以f在每个[x_(i-1),x_i]有上界，因此f在[a,b]有上界 inf同理，因此f在[a,b]有下界，矛盾 : 2. 一个 在区间[a,b]上 unbounded 但瑕积分存在 的函数 : 是否一定找的到一个 partition 的数列 P_n，和相对应选取的点c_k， : 其中 |P_n|→0 当 n→∞， : 使得黎曼和发散 当 n→∞？ : 其实根据这篇文章 : http://www.docin.com/p-407594177.html : 应该就是都会"不可积"，但是我想知道找Partition的细节，所以才问的， : 麻烦各位高手了！！ --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 1.171.19.226 ※ 编辑: znmkhxrw 来自: 1.171.19.226 (01/16 00:34)