作者KAINTS (RUKAWA)
看板Math
標題[機統] 賭博問題
時間Fri Nov 30 11:29:14 2012
A,B投擲一枚公正骰子，當A投擲的骰子正面數目大於B投擲的骰子正面數字時，
B給A一元;反之亦然;若兩者正面數字相等時，則不改變。若其中一人錢幣數為
零時，則此遊戲結束。
(1)假設A初始有1元，而B有兩元，試問A獲勝的期望值為何?
(2)承上A獲勝的機率為何?
我的算法是
p(A beat B)=p(B beat A)=15/36=5/12
p(fair)=6/36=1/6
A,B為各所持有的硬幣數
X,Y為平均數
Awin
________A=3,B=0 ,end(A win)
|
Awin A=2 |Bwin
______________Y |________X(A=1,B=2) 回到最初情形
| |
| B=1 |fair
| |________Y(A=2,B=1)
A=1 |Bwin
X ----- |----- end(A lose)
B=2 |
|
|fair
|____X(A=1,B=2)與最初情形相同
所以由遞迴式可以得到兩條式子
X=5Y/12+X/6
Y=(5/12*1)+(5/12*X)+(1/6*Y)
可得Y=2/3,X=1/3...
解出來一看答案就是錯的，請問一下我這想法是錯在哪裡?
有其他方法可以解嗎?(盡量不要隨機步的作法)
第二小題順便麻煩了
感謝
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◆ From: 123.193.7.20
※ 編輯: KAINTS 來自: 123.193.7.20 (11/30 11:30)
1F：→ KAINTS :用手機打的，如果有不清楚的地方，請見諒 11/30 11:38
※ 編輯: KAINTS 來自: 123.193.7.20 (11/30 11:44)
※ 編輯: KAINTS 來自: 123.193.7.20 (11/30 11:46)
2F：推 APM99 :因為你第一個X與後面那個X發生的機率不一樣 11/30 11:55
3F：→ KAINTS :機率不是由骰子決定嗎，這樣獲勝機率有變嗎 11/30 12:12
4F：推 APM99 :我不知道你X的意思是什麼,如果你的X是指 A1元B2元 11/30 12:14
5F：推 seeyou12 :我也不懂X Y的意思... 11/30 12:17
6F：→ seeyou12 :看起來是X狀況 Y狀況 所ˇ你算的是X發生的機率? 11/30 12:17
7F：→ KAINTS :我原意是令X為期望值..還是我這算法是在算機率= =? 11/30 12:25
8F：→ KAINTS :算到後來腦袋有點打結了@@ 11/30 12:25
9F：→ KAINTS :已解決 11/30 13:48
10F：→ yhliu :什麼叫 "A獲勝的期望值"? "A獲勝的機率" 又是指什麼? 11/30 20:13
11F：→ yhliu :如果 "獲勝" 指的是遊戲結束時誰贏, 那麼誰獲勝誰手 11/30 20:15
12F：→ yhliu :裡就有3元, 所以獲勝方的期望值是 3. 11/30 20:16
13F：→ KAINTS :算出來答案是12/5捏 11/30 22:54
14F：→ KAINTS :就是A手上有三元就叫A獲勝 11/30 22:54
15F：→ KAINTS :那個期望值只的是A獲勝所需的次數 11/30 22:55
16F：→ yhliu :我只能算出: 若不論誰勝誰負, 遊戲結束期望局數 12/5 12/02 13:59
17F：→ yhliu :遊戲以 A 勝出結束機率 1/3. 12/02 14:00
18F：→ yhliu :但我還不會算 "A勝出之期望局數". 12/02 14:01
19F：→ yhliu :當然就此特例或許是可算的? 我考慮的是一般化的問題. 12/02 14:02
20F：→ KAINTS :樓上大大是用什麼方法算的捏? 12/02 16:31
21F：→ KAINTS :我第一題是利用遞迴式解的 12/02 16:31
22F：→ KAINTS :第二題是用這個圖 然後考慮兩層的機率 有點類似全機 12/02 16:32
23F：→ KAINTS :率定理下去推 12/02 16:32
24F：→ yhliu :我的算法貼在 telnet://bs2.twbbs.org 的 P_yhliu 了 12/05 12:03
25F：→ yhliu :第一題的困難在於條件 "A勝出". 我不清楚在這條件下, 12/05 12:24
26F：→ yhliu :每一局 A 輸、贏、和的機率受到怎樣的影響. 12/05 12:25
27F：→ yhliu :不可能沒有影響, 因為那樣算出來的結果是錯的! 12/05 12:26
28F：→ yhliu :嗯...或許可以從這一點再出發, 重新考慮... 12/05 12:27
29F：→ yhliu :就這個例子, 算出: 在 A 勝出條件下, 期望局數是16/5 12/05 13:08
30F：→ yhliu :而 B 勝出之條件下期望局數應是 2. 所以不論誰勝出, 12/05 13:08
31F：→ yhliu :期望局數 12/5=(16/5)*(1/3)+2*(2/3). 12/05 13:09