※ 引述《jason8002 (一個人一杯咖啡)》之銘言： : ※ 引述《egg12388 (微涼的風)》之銘言： : : 在這裡我們希望H是一個subgroup,也就是說H也要是一個group才行 : : 如果你考慮a*b in H是同類的話 : : 那第1個 a~a => a*a=a^2 in H 無法表現出群定義上的強度 : 這句有點怪:如你所說 只能用封閉性確認a^2屬於H 強度比較弱 不好意思沒有說清楚~ 我想說的是,如果H只是一個集合,這樣的定義下用途不大 解釋在下面的(*) : 如果要證明a~a的話只要用a跟a的inverse就好>>>>定義GP4 : 給定a in H : identity(GP3) : a*a^-1=e => e屬於H => a*a^-1屬於H =>a~a : : 2 a*b in H => a~b => b~a => b*a in H 不是每個群都可以交換 : : 在這個定義下無法說明群裡面的元素是等價關係 : : 但如果是定義a^(-1)b in H 表示 a~b 的話 : : 很容易可以檢驗出每個群裡面的元素是等價關係 : : 這是很有用以及很有價值的 : 你可以再說詳細一點嘛?@@我還是不大懂 : 就我的觀點:有a*b in H <=> a,b in H <=> a^-1*b in H(by GP4) ↑ 這裡是錯的喔~ 如果G=C6={1,a,a^2,a^3,a^4,a^5}, a≠1, a^6=1 H={1,a^3} 則H是G的子群 且a*(a^2)=a^3 in H (b=a^2) 但是 a,a^2(=b) are NOT in H 甚至 (a^{-1})*b=(a^5)*(a^2)=a^7=a is NOT in H : 所以我不懂為啥一定要用a^-1*b in H去看@@" (*) 事實上,當我們假設 a~b 定義成 a^{-1}*b 時 令H是一個群G的"子集" 如果H裡的元素是等價關係的話 => H 是一個"子群" (可以試著證看看) 有沒有發現,在這個等價的定義下,會是一個若且唯若(iff,<=>)的關係 (另外一個方向在我之前說的裡面) 而如果是另外一個定義,就沒有這個關係了 (例如我之前說的,不是每個群在那樣的定義下都是等價關係) 所以這樣的定義是有它的價值的~ : (吃光) : : 而且不可交換的群很多,也容易舉例(課本都會有例子) : : 如果把abelian作為自然的定義,不可交換就顯得是"特例" : : 但你又可以輕易地舉出不可交換的例子~這樣不是很奇怪嗎:) : : 以上是本人的拙見 : : 如有錯誤請幫忙指證 : : 謝謝^^ : 所以以群.跟元素去看交換律,符合的例子小於不可交換的例子 : 是這樣嗎? 我想應該不是這樣說吧 這兩種群的存在都是無限多個 例: 可交換: 令p是一個質數,則(Z/pZ)\{0}是一個可交換的乘法群, 且質數有無限多個. 不可交換: Sn, n>2, n in N, n有無限多種選擇 我想是邏輯上的問題吧 如果交換性是不可拿掉的條件,那在定義裡就會有交換性 我覺得有點像歐氏幾何的"平行公設" 在還沒發現非歐幾何前,討論幾何時這個公設是不可以拿掉的 不過當非歐幾何出現的時候 "歐幾里得的平行公設"就不在非歐幾何的定義裡了 也就是說,在討論一般化幾何時,不能把這個公設當成一個必要的存在 (除非特別討論特定幾何) 所以在討論群時,不能把交換性當作是必要的 (除非特別討論交換群) 不知道這樣比喻恰不恰當@@a --

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