※ 引述《jason8002 (一个人一杯咖啡)》之铭言： : ※ 引述《egg12388 (微凉的风)》之铭言： : : 在这里我们希望H是一个subgroup,也就是说H也要是一个group才行 : : 如果你考虑a*b in H是同类的话 : : 那第1个 a~a => a*a=a^2 in H 无法表现出群定义上的强度 : 这句有点怪:如你所说 只能用封闭性确认a^2属於H 强度比较弱 不好意思没有说清楚~ 我想说的是,如果H只是一个集合,这样的定义下用途不大 解释在下面的(*) : 如果要证明a~a的话只要用a跟a的inverse就好>>>>定义GP4 : 给定a in H : identity(GP3) : a*a^-1=e => e属於H => a*a^-1属於H =>a~a : : 2 a*b in H => a~b => b~a => b*a in H 不是每个群都可以交换 : : 在这个定义下无法说明群里面的元素是等价关系 : : 但如果是定义a^(-1)b in H 表示 a~b 的话 : : 很容易可以检验出每个群里面的元素是等价关系 : : 这是很有用以及很有价值的 : 你可以再说详细一点嘛?@@我还是不大懂 : 就我的观点:有a*b in H <=> a,b in H <=> a^-1*b in H(by GP4) ↑ 这里是错的喔~ 如果G=C6={1,a,a^2,a^3,a^4,a^5}, a≠1, a^6=1 H={1,a^3} 则H是G的子群 且a*(a^2)=a^3 in H (b=a^2) 但是 a,a^2(=b) are NOT in H 甚至 (a^{-1})*b=(a^5)*(a^2)=a^7=a is NOT in H : 所以我不懂为啥一定要用a^-1*b in H去看@@" (*) 事实上,当我们假设 a~b 定义成 a^{-1}*b 时 令H是一个群G的"子集" 如果H里的元素是等价关系的话 => H 是一个"子群" (可以试着证看看) 有没有发现,在这个等价的定义下,会是一个若且唯若(iff,<=>)的关系 (另外一个方向在我之前说的里面) 而如果是另外一个定义,就没有这个关系了 (例如我之前说的,不是每个群在那样的定义下都是等价关系) 所以这样的定义是有它的价值的~ : (吃光) : : 而且不可交换的群很多,也容易举例(课本都会有例子) : : 如果把abelian作为自然的定义,不可交换就显得是"特例" : : 但你又可以轻易地举出不可交换的例子~这样不是很奇怪吗:) : : 以上是本人的拙见 : : 如有错误请帮忙指证 : : 谢谢^^ : 所以以群.跟元素去看交换律,符合的例子小於不可交换的例子 : 是这样吗? 我想应该不是这样说吧 这两种群的存在都是无限多个 例: 可交换: 令p是一个质数,则(Z/pZ)\{0}是一个可交换的乘法群, 且质数有无限多个. 不可交换: Sn, n>2, n in N, n有无限多种选择 我想是逻辑上的问题吧 如果交换性是不可拿掉的条件,那在定义里就会有交换性 我觉得有点像欧氏几何的"平行公设" 在还没发现非欧几何前,讨论几何时这个公设是不可以拿掉的 不过当非欧几何出现的时候 "欧几里得的平行公设"就不在非欧几何的定义里了 也就是说,在讨论一般化几何时,不能把这个公设当成一个必要的存在 (除非特别讨论特定几何) 所以在讨论群时,不能把交换性当作是必要的 (除非特别讨论交换群) 不知道这样比喻恰不恰当@@a --

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